De una urna con 5 bolas, dos blancas y tres negras, se extraen 2 bolas sin reemplazamiento. Sabiendo que la segunda bola ha sido blanca, determina cuál es la probabilidad de que la primera también lo sea.

Solución

Siempre que nos digan que algo ha ocurrido, tenemos que aplicar el teorema de Bayes o de la probabilidad a posteriori. Sabemos lo que ha ocurrido al final y queremos conocer cuál es la probabilidad de que venga de una rama concreta:

Calculamos la probabilidad de que haya sido blanca la primera bola sabiendo que ha sido blanca la segunda.

p(B1/B2)=p(B1∩B2)/B2= p(B1∩B2) /[p(B1∩B2) + p(N1∩B2)] =

p(B1).p(B2/B1) / [p(B1).p(B2/B1) + p(N1).p(B2/N1)] = (5/8.4/7) / [ 5/8.4/7 + 3/8.5/7] = 20/35 = 4/7

De una urna con 5 bolas, dos blancas y tres negras, se extraen 2 bolas sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:

1. Que las dos bolas sean negras
2. Que las dos bolas sean del mismo color
3. Que al menos una bola sea negra

Solución

Se trata de un experimento compuesto ( sacar dos bolas sin reemplazamiento ) constituido por sucesos simples dependientes puesto que el color de la primera bola condiciona las probabilidades de la 2ª bola. Debemos dibujar el árbol de probabilidades:

a) S=”que las dos bolas sean negras”

p(N1∩N2)=p(N1).p(N2/N1)=(3/8).(2/7)=6/56=3/28

b) S=”que las dos bolas sean del mismo color”

S={(N1∩N2),(B1∩B2)}

p(S)=p(N1∩N2) + p(B1∩B2) = p(N1).p(N2/N1) + p(B1).p(B2/B1) = (3/8).(2/7) + (5/8).(4/7) = 6/56 + 20/56 = 26/56 = 13/28

c) S=”que al menos una bola sea negra”

Sc=”que ninguna bola sea negra”=”que las dos bolas sean blancas”

p(S) = 1 – p(Sc) = 1 – p(B1∩B2) = 1 – p(B1).p(B2/B1) = 1 – (5/8).(4/7) = 1 – 20/56 = 36/56 = 9/14

Se lanzan 2 dados equilibrados.

1. Calcula la probabilidad de que la suma de los resultados sea 4.
2. Calcula la probabilidad de que en ambos dados salga un número par

Solución

Se trata de un suceso compuesto constituido por 2 sucesos simples que son independientes puesto que lo que ocurre en un dado no condiciona lo que ocurre en el otro; por lo tanto, la probabilidad del suceso compuesto se puede calcular como producto de probabilidades de los sucesos simples:

experimento aleatorio=”tirar dos dados”

p(“tirar dos dados”)=p(“resultado de un dado”).p(“resultado 2º dado”)

El suceso que nos piden es: S=”que la suma de los dados sea 4″

S={(1,3),(2,2),(3,1)}

p(S) =p((1,3))+p((2,2))+p((3,1)) = p(1).p(3) + p(2).p(2) + p(3).p(1) = 1/6.1/6 + 1/6.1/6 + 1/6.1/6 = 3/36 = 1/12

b) S=”que en ambos dados salga par”

p(“salir par al tirar un dado”) = casos favorables / casos posibles = 3 /6

p(S) = p(“par”).p(“par”) = 3/6 . 3/6 = 9/36 = 1/4

Sea un experimento aleatorio y A y B dos sucesos tales que p(A)=0,5; p(B)=0,4 y p(Ac∩Bc)=0,2. Determina si son dependientes o independientes.

Solución:

Según dice la teoría dos sucesos son independientes o no condicionados si:

p(A∩B)=p(A).p(B).

Debemos calcular p(A∩B) a partir de la información que nos dan en el enunciado.

p(Ac∩Bc) aplicando Morgan = p((AUB)c) = 1 -p(AUB) –> p(AUB)=0,8

Por definición: p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B) –> 0,8 = 0,5 + 0,4 – p(A∩B) –> p(A∩B) = 0,1

p(A).p(B)=0,5.0,4 ≠ 0,1 = p(A∩B) –> como no coinciden A y B son cuesos dependientes, es decir, la probabilidad de que ocurra B depende de que previamente haya ocurrido A.

Como consecuencia: p(B/A) ≠ p(B)

La probabilidad de que tenga lugar un suceso A es 2/3, la del suceso B es 3/4 y la de que ocurran los dos a la vez es de 5/8. Halla la probabilidad de:

1. Que se verifique alguno de los dos sucesos
2. Que no ocurra B
3. Que no se verifique ninguno de los dos
4. Que sólo se verifique A

Solución:

Debemos escribir en lenguaje matemático lo que expresa el enunciado en lenguaje literario:

p(A)=2/3

p(B)=3/4

p(A∩B)=5/8  ( cuando tienen que ocurrir los 2 a la vez, hablamos de intersección )

1. Que se verifique alguno de los dos sucesos implica que ocurra uno o que ocurra el otro o que ocurran los dos. Eso es la unión.

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A∩B) = 2/3 + 3/4 – 5/8 = (16 + 18 – 15) / 24 = 19/24

2. Que no ocurra B es el suceso contrario de B

p(B^c) = 1 – p(B) = 1 – 3/4 = 1/4

3.  Que no se verifique ninguno de los dos es que no ocurra A (A^c) y que no ocurra B (B^c). “Y” siempre implica intersección:

p(A^c∩B^c) → cuando tenemos dos contrarios, tenemos que aplicar Morgan.

p(A^c∩B^c)=p((AUB)^c) = 1 – p(AUB) = 1 – 19/24 = 5/24

4. Eso implica que se verifique A y que no se verique B → p(A∩B^c)

En este caso tenemos que aplicar el teorema de la probabilidad completa:

p(A) = p(A∩B) + p(A∩B^c); p(A∩B^c) = p(A) – p(A∩B) = 2/3 – 5/8 = (16-15)/24 = 1/24

En una urna hay 10 bolas rojas, 5 verdes, 4 negras y 1 azul. Define el espacio muestral y calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales.

Solución:

Experimento aleatorio: “sacar una bola de la urna”

E={R, V, N, A}

Todas las bolas son iguales, de manera que sacar una u otra tiene la misma probabilidad, lo cual quiere decir que son equiprobables. Como son equiprobables, podemos aplicar Laplace:

p(S) = casos favorables / casos posibles

p(R) = 10/20
p(V)= 5/20
p(N) = 4/20
p(A) = 1/20

Sea el experimento aleatorio: “tirar un dado”
El espacio muestral es: E={1,2,3,4,5,6}
Sean los sucesos:
S1=”que salga número par” = {2,4,6}
S2=”que salga número primo” = {1,2,3,5}

Unión de sucesos: es otro suceso que contiene todos los elementos de ambos sucesos.
S1 U S2 = {1,2,3,4,5,6}

Intersección de sucesos: es otro suceso que contiene sólo los elementos comunes a ambos.
S1 ∩ S2 = {2} → puesto que la intersección no es nula, se trata de sucesos compatibles, es decir, sucesos que pueden ocurrir o verificarse simultáneamente.

Diferencia de sucesos: es otro suceso que se verifica cuando ocurre el primero y no ocurre el segundo.

S1 – S2 = S1 ∩ S2 ^c={4,6}

NOTA: S1 y S2 no son sucesos contrarios ya que es cierto que su unión es el espacio muestral E, pero su intersección no es nula, es decir, son compatibles.

Sea el experimento aleatorio: tirar un dado

Su espacio muestral será: E={1,2,3,4,5,6}

Sean los sucesos:

S1=”sacar un número negativo”

S2=”sacar un número entero”

S3=”sacar un número primo”

S4={4,6}

S1 es un suceso imposible, puesto que no ocurre nunca

S2 es un suceso cierto puesto que se verifica siempre: siempre que tiramos un dado, el resultado es un número entero.

S3 y S4 son sucesos contrarios puesto que verifican que:

S3 U S4 = E  y S3 ∩ S4 = 0

es decir, los sucesos elementales que están en uno no están en el otro y cuando ocurre uno no ocurre el otro y a la inversa.

Ejemplos de experimentos aleatorios:

1. “tirar una moneda”
2. “tirar un dado”
3. “jugar un partido de fútbol”
4. “tener un hijo”
5. “tirar 2 monedas”

Espacio muestral de cada uno de los experimentos aleatorios anteriores:

1. E={C,X}
2. E={1,2,3,4,5,6}
3. E={Ganar, Empatar, Perder}
4. E={Hombre, Mujer}
5. E={XX, XC, CX, CC}

Sucesos del experimento aleatorio “tirar un dado”

1. S1=”par”={2,4,6}
2. S2=”número primo”={1,2,3,5}
3. S3=”múltiplo de 3″={3,6}

…

Sucesos del experimento aleatorio “tirar 2 monedas”

1. S1=”que no salga ninguna cara”={XX}
2. S2=”que salga alguna cara”={XC, CX, CC}
3. S3=”que salga doble”={XX, CC}
4. …

Se tiene el experimento aleatorio: tirar un dado no trucado.
Se tienen los siguientes sucesos:

A=”que salga par”
B=”que salga impar”
C=”que salga menor que 3”
D=”que salga mayor que 4”

1. Calcular la unión y la intersección de las posibles combinaciones de los 4 sucesos anteriores y determina sus probabilidades.

Solución:

Los posibles resultados serán: S={1,2,3,4,5,6}

Puesto que todos los sucesos son equiprobables, podemos aplicar Laplace:
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

A={2,4,6}; P(A)=3/6=1/2
B={1,3,5}; P(B)=3/6=1/2
C={1,2}; p(C)=2/6=1/3
D={5,6}; p(D)=2/6=1/3

Calculamos la unión y la intersección de sucesos:

AUB={1,2,3,4,5,6}; p(AUB)=6/6=1
A∩B={Ø}; p(A∩B)=0
Dos sucesos que verifican que AUB=E y A∩B=Ø se dice que son sucesos contrarios. Puesto que la intersección es nula, son también incompatibles.
Podemos resolverlo también de este otro modo y comprobar que se obtienen los mismos resultados:
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B) = 1/2 + 1/2 -0 = 1

AUC={1,2,4,6}; p(AUC)=4/6=2/3
A∩C={2}; p(A∩C)=1/6

AUD={2,4,5,6}; p(AUD)=4/6=2/3
A∩D={6}; p(A∩D)=1/6

BUC={1,2,3,5}; p(BUC)=4/6=2/3
B∩C={1}; p(B∩C)1/6

BUD={1,3,5,6}; p(BUD)=4/6=2/3
B∩D={5}; p(B∩D)=1/6

CUD={1,2,5,6}; p(CUD)=4/6
C∩D={Ø};p(C∩D)=0
Puesto que la intersección es nula, se trata de sucesos incompatibles.