Se tiene el experimento aleatorio: tirar un dado no trucado.
Se tienen los siguientes sucesos:

A=”que salga par”
B=”que salga impar”
C=”que salga menor que 3”
D=”que salga mayor que 4”

1. Calcular la unión y la intersección de las posibles combinaciones de los 4 sucesos anteriores y determina sus probabilidades.

Solución:

Los posibles resultados serán: S={1,2,3,4,5,6}

Puesto que todos los sucesos son equiprobables, podemos aplicar Laplace:
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

A={2,4,6}; P(A)=3/6=1/2
B={1,3,5}; P(B)=3/6=1/2
C={1,2}; p(C)=2/6=1/3
D={5,6}; p(D)=2/6=1/3

Calculamos la unión y la intersección de sucesos:

AUB={1,2,3,4,5,6}; p(AUB)=6/6=1
A∩B={Ø}; p(A∩B)=0
Dos sucesos que verifican que AUB=E y A∩B=Ø se dice que son sucesos contrarios. Puesto que la intersección es nula, son también incompatibles.
Podemos resolverlo también de este otro modo y comprobar que se obtienen los mismos resultados:
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B) = 1/2 + 1/2 -0 = 1

AUC={1,2,4,6}; p(AUC)=4/6=2/3
A∩C={2}; p(A∩C)=1/6

AUD={2,4,5,6}; p(AUD)=4/6=2/3
A∩D={6}; p(A∩D)=1/6

BUC={1,2,3,5}; p(BUC)=4/6=2/3
B∩C={1}; p(B∩C)1/6

BUD={1,3,5,6}; p(BUD)=4/6=2/3
B∩D={5}; p(B∩D)=1/6

CUD={1,2,5,6}; p(CUD)=4/6
C∩D={Ø};p(C∩D)=0
Puesto que la intersección es nula, se trata de sucesos incompatibles.

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De dos sucesos A y B se sabe que son independientes, que la probabilidad de que ocurra alguno de ellos es 5/6 y que la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es 1/3. Hallar las probabilidades de A y de B.

Solución:

Que ocurra “alguno” es la operación unión: p(AUB)=5/6
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B)

Que ocurran “ambos” es la operación intersección: p(A∩B)=1/3
Que los sucesos sean independientes implica que: p(A∩B)=p(A).p(B)

Con ambas ecuaciones, hacemos un sistema:
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B); 5/6 = p(A) + p(B) – 1/3
p(A∩B)=p(A).p(B); 1/3=p(A).p(B)

p(A) = 1/3.p(B)
5/6= 1/3p(B) + p(B) – 1/3; 7/6 = 1/3p(B) + p(B)
7p(B) = 2 + 6p(B)²; 6p(B)² – 7p(B) + 2 = 0
Resolvemos la ecuación de 2º grado:
p(B) = (7 ± 1)/12 ; p(B)=2/3 y p(B) = 1/2

Si p(B)=3/4 –> p(A) = 1/3.(2/3) = 1/2

Si p(B) = 1/2 –> p(A)=1/3.(1/2) = 2/3

Uno de los sucesos tendrá probabilidad 1/2 y el otro 2/3

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Una fábrica produce un elemento mecánico ensamblando 2 componentes A y B. Se sabe que la probabilidad de que el componente A sea defectuoso es de 0,001 y la de que B no lo sea es de 0,997. Se elige al azar un elemento. Describe el espacio muestral y calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. Sólo el componente A es defectuoso
2. Ninguno de los componentes es defectuoso
3. Ambos son defectuosos
4. Sólo uno de los componentes es defectuoso

Solución:

La fabricación del elemento mecánico es un suceso compuestos (C), constituido por 2 sucesos simples independientes: A y B
p(C)=p(A).P(B)

Puesto que “defectuoso” + “no defectuoso” = E; p(defectuoso)+p(no defectuoso)=1

Que A no sea defectuoso: p(A)=0,999
Que A sea defectuoso: p(Ad)=0,001
Que B no sea defectuoso: p(B)=0,997
Que B sea defectuoso: p(Bd)=0,003

El espacio muestral del suceso “fabricar un elemento mecánico será”:
E={A∩B, Ad∩Bd, Ad∩B, A∩Bd}

1. “Solo el componente A es defectuoso” –> p(Ad∩B)=p(Ad).p(B)=0,001.0,997=0,000997

2. “Ninguno de los componentes es defectuoso” –> p(A∩B)=p(A).p(B)=0,999.0,997=0,996003

3. “Ambos son defectuosos” –> p(Ad∩Bd)=p(Ad).p(Bd)=0,001.0,003=0,000003

4. “Solo uno de los componentes es defectuoso”={Ad∩B, A∩Bd}
O es defectuoso A o es defectuoso B
p(“Solo uno de los componentes es defectuoso”)=p(Ad∩B) + p(A∩Bd)=p(Ad).p(B) + p(A).p(Bd)=0,001.0,997 + 0,999.0,003 = 0,003

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Se lanza un dado de seis caras numeradas del 1 al 6 dos veces consecutivas.

1. Calcular la probabilidad de que la suma de los resultados sea 4
2. Calcular la probabilidad de que los 2 resultados sean menores que 3

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Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que p(A) = 0,6, p(B)=0,2 y p(A’UB’)=0,7.

1. Calcula p(A∩B) y razona  si A y B son independientes
2. Calcula p(AUB)

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Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Hacemos 2 extracciones con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de extraer:

1. 2 bolas verdes
2. Ninguna bola verde
3. Una bola verde

Repite los 3 apartados anteriores en el caso de que no hubiera reemplazamiento.

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La probabilidad de que Óscar gane a Santiago un partido de tenis es 2/3 y de que empaten, 1/6. Si juegan 4 partidos,

1. Describe el espacio muestral y la probabilidad de cada uno de los sucesos
2. ¿Cuál es la probabilidad de que Óscar gane más de la mitad de los partidos?

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La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo en un lanzamiento a cierta distancia es de 0,2. Si lo intenta 3 veces:

1. Escribe el espacio muestral y la probabilidad de cada uno de los sucesos
2. Calcula la probabilidad de que no acierte ninguna vez
3. Calcula la probabilidad de que acierte alguna vez
4. Calcula la probabilidad de que acierte 2 veces.

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Las caras de un dado irregular tienen las siguientes probabilidades:

p[1]=0,1            p[2]=0,2            p[3]=0,1            p[4]=0,15          p[6]=0,25

• Averigua cuál es la probabilidad de 5.
• Calcula la probabilidad de que al tirar dos veces el dado, la suma sea 4.

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