Factoriza los siguientes polinomios:
a) P(x)=x3+x2-4x-4
b) Q(x)=x4-2x3-5x2+6x
c) R(x)=x4-13x2 + 36
Solución
Factorizar un polinomio es expresarlo en forma de producto de binomios de grado 1, precedido del coeficiente de la x de mayor orden de mi polinomio, de manera que dicho producto coincida con mi polinomio original. Para ello tenemos que encontrar las raíces. Un polinomio tendrá como máximo el mismo número de raíces que su grado.
Nosotros sabemos resolver ecuaciones de 2º grado, pero no de grado superior.
Para encontrar las raíces de mi polinomio utilizaremos Ruffini hasta llegar a la ecuación de 2º grado.
Ruffini dice: si un polinomio tiene raíces enteras, éstas serán divisores del término independiente.
a) El término independiente de P(x) es -4 → las posibles raíces serán 1,2,4,-1,-2,-4. Vamos probando
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1 |
1 |
-4 |
-4 |
| -1 |
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-1 |
0 |
4 |
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1 |
0 |
-4 |
0 |
Nuestra primera raiz es x=-1
Como ya hemos reducido a un polinomio de grado 2, resolvemos la ecuación de 2º grado:
( Es mejor resolver la ecuación de 2º grado que seguir aplicando Ruffini, puesto que Ruffini sólo nos da las raíces enteras, mientras que la ecuación de 2º grado nos devuelve cualquier raiz )
x2-4=0 → x2 = 4 → x = √4 → x=+2; x=-2 serán nuestras otras dos raíces
Solución: P(x) = 1. (x+1).(x-2).(x+2)
b) Q(x) no tiene término independiente. Tenemos que sacar factor común de x:
Q(x)=x4-2x3-5x2+6x = x(x3 – 2x2 – 5x + 6)
Nuestra primera raíz será x=0. Ahora aplicamos Ruffini a x3 – 2x2 – 5x + 6
Término independiente: 6. Posibles raíces enteras: 1,2,3,6,-1,-2,-3,-6. Probamos:
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1 |
-2 |
-5 |
6 |
| 1 |
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1 |
-1 |
-6 |
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1 |
-1 |
-6 |
0 |
Nuestra 2ª raiz es x=1.
Resolvemos la ecuación de 2º grado: x2-x-6=0
x = (1±√(1+24))/2 ; x=(1+5)/2 y x=(1-5)/2; x=3 y x=-2 serán las 2 raíces que nos faltaban
Solución: Q(x) = 1. (x+0).(x-1).(x+2)(x-3) = 1.x.(x-1)(x+2)(x-3)
c) R(x)=x4-13x2 + 36 es una ecuación bicuadrada. Para resolver una ecuación bicuadrada tenemos que hacer un cambio de variable:
z = x2 → R(z) = z2 -13z + 36
Ahora tenemos una ecuación de 2º grado que sabemos resolver:
z = (13±√(132-4.36.1))/2 = (13 ±√(169-144))/2 = (13 ±√25)/2 → z = (13 ± 5)/2
z=(13+5)/2 y z=(13-5)/2 ; z=9 y z=4
Deshacemos el cambio de variable:
si z=9 → x2=9 → x=√9 → x=3 y x=-3 serán nuestras primeras 2 raíces
si z=4 → x2=4 → x=√4 → x=2 y x=-2 serán las otras dos raíces
Solución: R(x) = 1. (x+3).(x-3).(x+2)(x-2)
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