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Examen 1Ev2009P1-Teorema del resto

Aurora Lucas — Thu, 03 Dec 2009 09:16:54 +0000

Calcula los valores de m y n para que el siguiente polinomio tenga como raiz -2 y el resto de dividirlo entre x-1 sea 9. P(x)=mx⁴-2x³ + nx² + 4x + 16

Solución:

Aplicamos el teorema del resto que dice: El resto de dividir el polinomio P(x) entre x-a es igual a P(a).

Si -2 es una raiz de mi polinomio → P(-2)=0
Si el resto de dividirlo entre x-1 es 9 → P(1)=9

Tenemos 2 ecuaciones con dos incógnitas m y n
P(-2)=16m + 16 + 4n – 8 + 16 = 0
P(1)=m – 2 + n + 4 + 16 = 9

Simplificando y agrupando términos semejantes:
4m + n + 6 = 0
m + n + 9 = 0

Solución: m=1; n=-10

Operaciones con polinomios-20091p1EvP5

Aurora Lucas — Tue, 27 Oct 2009 10:22:05 +0000

Calcula el resto de dividir P(x) entre Q(x), siendo P(x)=9x⁴ – 3x² + 2x +1 y Q(x)=3x-2

Solución

Podemos resolver utilizando Ruffini, realizando la operación de la división o bien utilizando el teorema del Resto.

Vamos a optar por esta última opción, pero deberemos realizar algunas modificaciones puesto que el teorema del resto dice: el resto de dividir el polinomio P(x) entre x-a es igual a P(a).

Como no tengo x-a, lo que tendré que hacer será buscar x-a sin que cambien mi división:

P(x):Q(x) = P(x)/3 : Q(x)/3 = (3x⁴ – x² + (2/3)x +1/3) : (x – 2/3)

Ahora sí lo tenemos expresado en forma adecuada para aplicar el teorema del resto:

Resto=3.(2/3)⁴ – (2/3)² + (2/3)(2/3) + 1/3 = 3.16/81 – 4/9 + 4/9 + 1/3 = (48+27)/81 =75/81

Solución: R=75/81

Polinomios-20091p1EvP1

Aurora Lucas — Mon, 26 Oct 2009 08:51:38 +0000

Enuncia el teorema del resto.
Calcula los valores de m y n para que el siguiente polinomio tenga como raíces 0 y -1: P(x)=mx⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + n
Una vez hallados, factoriza el polinomio e indica el orden de cada raíz.

Solución

Teorema del resto: el resto de dividir el polinomio P(x) entre x-a es igual a P(a), es deicr, al valor del polinomio en x=a

Puesto que 0 y -1 tienen que ser raíces, aplicando el teorema del resto, se deduce que:

P(0)=0 → n=0

P(-1)=0 → m – 6 + 11 – 6 = 0 → m=1

Para factorizar el polinomio: P(x)=x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x=x(x³ + 6x² + 11x + 6), aplicamos Ruffini

Ya sabemos que -1 es una raíz:

	1	6	11	6
-1		-1	-5	-6
	1	5	6	0

LLegados a la ecuación de 2º grado, resolvemos: x² + 5x + 6 = 0 → x = (-5 ± (25-24)^1/2)/2 → x=-2 y x=-3

La factorización de P(x)=1.(x-0)(x+1)(x+2)(x+3)

Hay 4 raíces de orden 1: x=0, x=-1, x=-2 y x=-3

Operaciones con polinomios

Aurora Lucas — Sun, 18 Oct 2009 17:32:51 +0000

Calcula un polinomio P(x) tal que, al dividirlo entre x²-x+3 da de cociente x³-2x²+4x-5 y de resto 7.

Teorema del resto. Un paso más

Aurora Lucas — Sun, 18 Oct 2009 17:32:09 +0000

Haciendo los cambios precisos, utiliza el teorema del resto para calcular el resto de la división de P(x) = 12x⁴ – 3x² + x entre Q(x) = 2x – 1

Teorema del resto

Aurora Lucas — Sun, 18 Oct 2009 17:31:04 +0000

El polinomio P(x)=x³+mx²+nx+4 es divisible por x-1 y da el mismo resto al dividirlo entre x-2 que entre x-3. Calcula m y n

Teorema del resto

Aurora Lucas — Sun, 18 Oct 2009 17:29:23 +0000

Calcula m y n para que la división P(x) = x³ – 2x² + mx + n entre x+3 sea exacta y entre x-1 dé de resto 28.

Solución

Puesto que tenemos 2 incógnitas, necesitamos 2 ecuaciones.
Aplicando el teorema del resto:
P(-3)=0
P(1)=28

(-3)³ – 2(-3)² + m(-3) + n = 0
(1)³ – 2(1)² + m(1) + n = 28

-27 – 18 – 3m + n = 0
1 – 2 + m + n = 28

-45 – 3m + n = 0 → – 3m + n = 45
m + n = 29 → m +n = 29

Aplicando el método de reducción, si a la 1ª ecuación le restamos la 2ª:
(1) – (2) → -4m = 16 → m = 16/(-4) → m=-4
Sustituyendo el valor de m en la 1ª ecuación: -3(-4) + n = 45; 12+n=45; n = 45-12; n=33

Solución: m=-4 y n=33

Polinomios

Aurora Lucas — Sun, 18 Oct 2009 17:28:12 +0000

Escribe el polinomio de menor grado posible que tenga por raíces 2, -5 y 0 y cuyo coeficiente del término de mayor grado sea 2.

Solución

Utilizando la factorización de polinomios: P(x) = 2.(x-2)(x+5)(x-0) = 2x(x² – 7x -10) = 2x³ – 14x² – 10x

Solución: P(x) = 2x³ – 14x² – 10x

Teorema del resto

Aurora Lucas — Sun, 18 Oct 2009 16:44:26 +0000

Calcula el valor de m en el polinomio P(x) = x³ – 6x + m, sabiendo que da de resto 7 al dividirlo por (x + 2).

Solución

Aplicando el teorema del resto:
P(-2)=7
(-2)³ – 6(-2) + m = 7
-8 +12 + m = 7 → 4+m=7 → m = 7-4 → m=3

Solución: m=3

Teorema del resto y factorización

Aurora Lucas — Sun, 18 Oct 2009 16:43:21 +0000

Enuncia el teorema del resto.
Calcula los valores de m y n para que el siguiente polinomio tenga como raíces 0 y –1:
P(x) = mx⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + n
Una vez hallados, factoriza el polinomio e indica el orden de cada raiz.

Solución

El teorema del resto dice: El resto de dividir el polinomio P(x) entre x-a es igual a P(a)
Como consecuencia de este teorema: si x=a es una raiz de P(x) P(a)=0
Tenemos 2 incógnitas: m y n
Para encontrar su valor, necesitaremos 2 ecuaciones.

Si 0 y -1 tienen que ser raíces:
P(0)=0
P(-1)=0

P(0) = m(0)⁴+6(0)³+11(0)²+6(0) + n = 0
P(-1) = m(-1)⁴+6(-1)³+11(-1)²+6(-1) + n = 0

P(0)=n=0 → n=0
P(-1)=m-6+11-6+n=0 → m-1+n=0 → m-1+0=0 → m=1

Solución: m=1 y n=0

b) Ahora tenemos que factorizar P(x) = x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x
Primero sacamos factor común de x : P(x) = x(x³ + 6x² + 11x + 6) → La primera raiz es x = 0 ( Ya lo dice el enunciado del ejercicio )
Además, por el enunciado del ejercicio sabemos que x=-1 es una raíz. Si aplicamos Ruffini:

	1	6	11	6
-1		-1	-5	-6
	1	5	6	0

Ahora resolvemos la ecuación de 2º grado: x² + 5x + 6 = 0
x = ( -5 ± √(5² -4.6.1) ) / 2 = ( -5 ± √(25 – 24) ) / 2 → x = (-5 ± 1) / 2 → x = (-5+1)/2 y x = (-5 – 1)/2 → x=-2 y x=-3 serán las otras 2 raíces
Puesto que cada raíz sólo aparece una vez el orden de cada raíz es 1

P(x) = 1.(x+0)(x+1)(x+2)(x+3)