eScire - Nuevas tecnologías y educación » Límites y Continuidad http://www.escire.com Just another WordPress weblog Wed, 08 Feb 2012 16:40:44 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.2.1 Continuidad http://www.escire.com/2009/11/continuidad-2/ http://www.escire.com/2009/11/continuidad-2/#comments Mon, 23 Nov 2009 08:35:28 +0000 Aurora Lucas http://www.escire.com/?p=740 Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

l 2x+2 x≤0
f(x)= l
l x2-3x+2 x>0
l (2x+1)/(x+1) x<0
f(x) = l
l (x2-2x+3)/(x-3) x≥0
l x2-5 x≤-2
f(x) = l (x2+3x+2)/(x+2) -2 < x ≤ 0
l 3x x>0
]]> http://www.escire.com/2009/11/continuidad-2/feed/ 0 Continuidad http://www.escire.com/2009/11/continuidad/ http://www.escire.com/2009/11/continuidad/#comments Mon, 23 Nov 2009 08:34:45 +0000 Aurora Lucas http://www.escire.com/?p=738 Estudia la continuidad de la siguiente función:

|x2 + 1 si x ≤ 0
f(x) = | 2x – 1 si 0 < x < 3
| 5 si x ≥ 3

Solución

Para estudiar la continuidad de una función a trozos tenemos que estudiar qué ocurre en los puntos que delimitan cada tramo, en este caso x=0 y x=3

Para que una función f(x) sea continua en un punto x=a deben cumplirse las siguientes condiciones:

  1. ∃f(a)
  2. limx→a- f(x) = limx→a+ f(x) = limx→a f(x)
  3. limx→a f(x) = f(a)

Si no se cumple la 2ª condición, tendremos una discontinuidad inevitable
Si no se cumple la 3ª condición, tendremos una discontinuidad evitable

Estudiamos x=0

  1. f(0)=02+1=1
  2. limx→0- f(x) =limx→0- x2+1=02+1=1; limx→0+ f(x)=limx→0+ 2x-1 = 2.0-1=-1; limx→0- f(x) ≠ limx→0+ f(x) → discontinuidad inevitable

Estudiamos x=3

  1. f(3)=5
  2. limx→3- f(x) =limx→3- 2x-1=2.3-1=6-1=5; limx→3+ f(x)=limx→3+ 5 = 5; limx→3- f(x) = limx→3+ f(x) =5
  3. f(3)=limx→3 f(x)=5 → f(x) es continua en x=5
Solución: La función es continua en todo su dominio salvo en x=0 donde presenta una discontinuidad inevitable
]]> http://www.escire.com/2009/11/continuidad/feed/ 0 Límites. Indeterminaciones http://www.escire.com/2009/11/limites-indeterminaciones/ http://www.escire.com/2009/11/limites-indeterminaciones/#comments Mon, 23 Nov 2009 08:33:42 +0000 Aurora Lucas http://www.escire.com/?p=736 Calcula los siguientes límites:

  1. limx→3 (x2 – 6x + 9)/(x2-9)
  2. limx→0 (x3 + 2x2 + 4x) / (x2 + x)
  3. limx→0 x / (1 – (x+1)1/2)
  4. lim x→2 ( x2 –x – 2 ) / ( x2 – 4x + 4 )
  5. lim x → -∞ ( 2x2 – 2x + 1 ) / ( x2 -1 )
  6. limx→ ∞ (3x2 – 1)1/2 / 3x
  7. limx→∞ (3-5x)2 / (-9x2 – x)
  8. limx→1 ((2x-1)1/2 – x1/2) / (x-1)

Solución

limx→3 (x2 – 6x + 9)/(x2-9)=(9-18+9)/(9-9)=0/0 → Indeterminación
Este tipo de indeterminación se resuelve:

  • Factorizamos numerador y denominador
  • Simplificamos
  • Volvemos a calcular el límite

x2 – 6x + 9=(x-3)2
x2-9=(x-3)(x+3)
limx→3 (x2 – 6x + 9)/(x2-9)=limx→3 (x-3)2/(x-3)(x+3)=limx→3 (x-3)/(x+3)=(3-3)/(3+3)=0/6=0

Solución: limx→3 (x2 – 6x + 9)/(x2-9)=0
limx→0 (x3 + 2x2 + 4x) / (x2 + x)=0/0 → Indeterminación

x3 + 2x2 + 4x=x(x2+2x+4)
x2+x=x(x+1)
limx→0 (x3 + 2x2 + 4x) / (x2 + x)=limx→0 (x(x2+2x+4))/(x(x+1))=limx→0 (x2+2x+4)/(x+1)=4/1=4

Solución:limx→0 (x3 + 2x2 + 4x) / (x2 + x)=4
limx→0 x / (1 – (x+1)1/2)=0/0 → Indeterminación
Para resolver este tipo de indeterminación en funciones irracionales debemos:

  • multiplicar y dividir por el conjugado
  • operar y simplificar
  • volver a calcular el límite

limx→0 x / (1 – (x+1)1/2)=limx→0 x(1+(x+1)1/2) / ((1 – (x+1)1/2).(1+(x+1)1/2) =limx→0 x(1+(x+1)1/2) / (1-(x+1))=limx→0 x(1+(x+1)1/2) / (-x) =limx→0 -(1+(x+1)1/2)=-(1+(0+1)1/2)=2

Solución: limx→0 x / (1 – (x+1)1/2)=2
lim x→2 ( x2 –x – 2 ) / ( x2 – 4x + 4 )=0/0 → Indeterminación
Resolvemos como en el primer caso:
x2 –x – 2=(x-2)(x+1)
x2 – 4x + 4=(x-2)2
lim x→2 ( x2 –x – 2 ) / ( x2 – 4x + 4 )=lim x→2 (x-2)(x+1)/(x-2)2=lim x→2 (x+1)/(x-2)=3/0 → Indeterminación
La primera indeterminación nos ha llevado a una 2ª indeterminación del tipo k/0.
Este tipo de indeterminaciones se resuelve:

  • Calculamos los límites laterales
    • Si los límites coinciden hay límite y valdrá +∞ o -∞
    • Si los límites laterales no coinciden no hay límite

lim x→2- (x+1)/(x-2)=3/0-=-∞
lim x→2+ (x+1)/(x-2)=3/0+=+∞
lim x→2- (x+1)/(x-2)≠lim x→2+ (x+1)/(x-2) → No hay límite

Solución: NO EXISTE lim x→2 ( x2 –x – 2 ) / ( x2 – 4x + 4 )
lim x → -∞ ( 2x2 – 2x + 1 ) / ( x2 -1 )=∞/∞ → Indeterminación
Para resolver este tipo de indeterminación podemos hacer dos cosas

  • Dividir numerador y denominador por la x de mayor orden del denominador, simplificar y calcular el límite
  • Aplicar la siguiente regla

Sea n el orden del numerador y m el orden del denominador:

    • si n>m → el límite será +∞ o -∞
    • si n
    • si n=m → el límite será an/am siendo an el coeficiente de la x de mayor orden del numerador y am el coeficiente de la x de mayor orden del denominador.

Aplicando esta segunda regla:
lim x → -∞ ( 2x2 – 2x + 1 ) / ( x2 -1 )=2/1=2

Solución: lim x → -∞ ( 2x2 – 2x + 1 ) / ( x2 -1 )=2
limx→ ∞ (3x2 – 1)1/2 / 3x = ∞/∞ → Indeterminación
A pesar de ser una función irracional, la forma de resolverlo es idéntica a la del apartado anterior. Resolvemos según la 1ª forma:
limx→ ∞ (3x2 – 1)1/2 / 3x =limx→ ∞ ((3x2 – 1)/x2)1/2 / (3x/x)= limx→ ∞ ((3x2/x2 – 1/x2)1/2 / (3x/x)= limx→ ∞ ((3 – 1/x2)1/2 / 3 = √3/3

Solución: limx→ ∞ (3x2 – 1)1/2 / 3x = √3/3
limx→∞ (3-5x)2 / (-9x2 – x)=∞/∞ → Indeterminación
Se resuelve como las dos anteriores. Aplicamos la regla:
limx→∞ (3-5x)2 / (-9x2 – x)=limx→∞ (9+25x2-30) / (-9x2 – x)=25/-9=-25/9

Solución: limx→∞ (3-5x)2 / (-9x2 – x)=-25/9
limx→1 ((2x-1)1/2 – x1/2) / (x-1)=0/0 → Indeterminación
Resolvemos como la nº 6, multiplicando y dividiendo por el conjugado:
limx→1 (2x-1)1/2 – x1/2) / (x-1) = limx→1 (2x-1)1/2 – x1/2)(2x-1)1/2 + x1/2) /(x-1)((2x-1)1/2 + x1/2) = limx→1 ((2x-1) – x)) /(x-1)((2x-1)1/2 + x1/2) =
limx→1 (x-1) /(x-1)((2x-1)1/2 + x1/2) = limx→1 1/((2x-1)1/2 + x1/2)=1/2

Solución: limx→1 ((2x-1)1/2 – x1/2) / (x-1)=1/2
]]> http://www.escire.com/2009/11/limites-indeterminaciones/feed/ 0