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    • Continuidad

    Monday, November 23rd, 2009

    Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

    l 2x+2 x≤0
    f(x)= l
    l x2-3x+2 x>0
    l (2x+1)/(x+1) x<0
    f(x) = l
    l (x2-2x+3)/(x-3) x≥0
    l x2-5 x≤-2
    f(x) = l (x2+3x+2)/(x+2) -2 < x ≤ 0
    l 3x x>0

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    Continuidad

    Monday, November 23rd, 2009

    Estudia la continuidad de la siguiente función:

    |x2 + 1 si x ≤ 0
    f(x) = | 2x – 1 si 0 < x < 3
    | 5 si x ≥ 3

    Solución

    Para estudiar la continuidad de una función a trozos tenemos que estudiar qué ocurre en los puntos que delimitan cada tramo, en este caso x=0 y x=3

    Para que una función f(x) sea continua en un punto x=a deben cumplirse las siguientes condiciones:

    1. ∃f(a)
    2. limx→a- f(x) = limx→a+ f(x) = limx→a f(x)
    3. limx→a f(x) = f(a)

    Si no se cumple la 2ª condición, tendremos una discontinuidad inevitable
    Si no se cumple la 3ª condición, tendremos una discontinuidad evitable

    Estudiamos x=0

    1. f(0)=02+1=1
    2. limx→0- f(x) =limx→0- x2+1=02+1=1; limx→0+ f(x)=limx→0+ 2x-1 = 2.0-1=-1; limx→0- f(x) ≠ limx→0+ f(x) → discontinuidad inevitable

    Estudiamos x=3

    1. f(3)=5
    2. limx→3- f(x) =limx→3- 2x-1=2.3-1=6-1=5; limx→3+ f(x)=limx→3+ 5 = 5; limx→3- f(x) = limx→3+ f(x) =5
    3. f(3)=limx→3 f(x)=5 → f(x) es continua en x=5
    Solución: La función es continua en todo su dominio salvo en x=0 donde presenta una discontinuidad inevitable

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    Límites. Indeterminaciones

    Monday, November 23rd, 2009

    Calcula los siguientes límites:

    1. limx→3 (x2 – 6x + 9)/(x2-9)
    2. limx→0 (x3 + 2x2 + 4x) / (x2 + x)
    3. limx→0 x / (1 – (x+1)1/2)
    4. lim x→2 ( x2 –x – 2 ) / ( x2 – 4x + 4 )
    5. lim x → -∞ ( 2x2 – 2x + 1 ) / ( x2 -1 )
    6. limx→ ∞ (3x2 – 1)1/2 / 3x
    7. limx→∞ (3-5x)2 / (-9x2 – x)
    8. limx→1 ((2x-1)1/2 – x1/2) / (x-1)

    Solución

    limx→3 (x2 – 6x + 9)/(x2-9)=(9-18+9)/(9-9)=0/0 → Indeterminación
    Este tipo de indeterminación se resuelve:

    • Factorizamos numerador y denominador
    • Simplificamos
    • Volvemos a calcular el límite

    x2 – 6x + 9=(x-3)2
    x2-9=(x-3)(x+3)
    limx→3 (x2 – 6x + 9)/(x2-9)=limx→3 (x-3)2/(x-3)(x+3)=limx→3 (x-3)/(x+3)=(3-3)/(3+3)=0/6=0

    Solución: limx→3 (x2 – 6x + 9)/(x2-9)=0
    limx→0 (x3 + 2x2 + 4x) / (x2 + x)=0/0 → Indeterminación

    x3 + 2x2 + 4x=x(x2+2x+4)
    x2+x=x(x+1)
    limx→0 (x3 + 2x2 + 4x) / (x2 + x)=limx→0 (x(x2+2x+4))/(x(x+1))=limx→0 (x2+2x+4)/(x+1)=4/1=4

    Solución:limx→0 (x3 + 2x2 + 4x) / (x2 + x)=4
    limx→0 x / (1 – (x+1)1/2)=0/0 → Indeterminación
    Para resolver este tipo de indeterminación en funciones irracionales debemos:

    • multiplicar y dividir por el conjugado
    • operar y simplificar
    • volver a calcular el límite

    limx→0 x / (1 – (x+1)1/2)=limx→0 x(1+(x+1)1/2) / ((1 – (x+1)1/2).(1+(x+1)1/2) =limx→0 x(1+(x+1)1/2) / (1-(x+1))=limx→0 x(1+(x+1)1/2) / (-x) =limx→0 -(1+(x+1)1/2)=-(1+(0+1)1/2)=2

    Solución: limx→0 x / (1 – (x+1)1/2)=2
    lim x→2 ( x2 –x – 2 ) / ( x2 – 4x + 4 )=0/0 → Indeterminación
    Resolvemos como en el primer caso:
    x2 –x – 2=(x-2)(x+1)
    x2 – 4x + 4=(x-2)2
    lim x→2 ( x2 –x – 2 ) / ( x2 – 4x + 4 )=lim x→2 (x-2)(x+1)/(x-2)2=lim x→2 (x+1)/(x-2)=3/0 → Indeterminación
    La primera indeterminación nos ha llevado a una 2ª indeterminación del tipo k/0.
    Este tipo de indeterminaciones se resuelve:

    • Calculamos los límites laterales
      • Si los límites coinciden hay límite y valdrá +∞ o -∞
      • Si los límites laterales no coinciden no hay límite

    lim x→2- (x+1)/(x-2)=3/0-=-∞
    lim x→2+ (x+1)/(x-2)=3/0+=+∞
    lim x→2- (x+1)/(x-2)≠lim x→2+ (x+1)/(x-2) → No hay límite

    Solución: NO EXISTE lim x→2 ( x2 –x – 2 ) / ( x2 – 4x + 4 )
    lim x → -∞ ( 2x2 – 2x + 1 ) / ( x2 -1 )=∞/∞ → Indeterminación
    Para resolver este tipo de indeterminación podemos hacer dos cosas

    • Dividir numerador y denominador por la x de mayor orden del denominador, simplificar y calcular el límite
    • Aplicar la siguiente regla

    Sea n el orden del numerador y m el orden del denominador:

      • si n>m → el límite será +∞ o -∞
      • si n
      • si n=m → el límite será an/am siendo an el coeficiente de la x de mayor orden del numerador y am el coeficiente de la x de mayor orden del denominador.

    Aplicando esta segunda regla:
    lim x → -∞ ( 2x2 – 2x + 1 ) / ( x2 -1 )=2/1=2

    Solución: lim x → -∞ ( 2x2 – 2x + 1 ) / ( x2 -1 )=2
    limx→ ∞ (3x2 – 1)1/2 / 3x = ∞/∞ → Indeterminación
    A pesar de ser una función irracional, la forma de resolverlo es idéntica a la del apartado anterior. Resolvemos según la 1ª forma:
    limx→ ∞ (3x2 – 1)1/2 / 3x =limx→ ∞ ((3x2 – 1)/x2)1/2 / (3x/x)= limx→ ∞ ((3x2/x2 – 1/x2)1/2 / (3x/x)= limx→ ∞ ((3 – 1/x2)1/2 / 3 = √3/3

    Solución: limx→ ∞ (3x2 – 1)1/2 / 3x = √3/3
    limx→∞ (3-5x)2 / (-9x2 – x)=∞/∞ → Indeterminación
    Se resuelve como las dos anteriores. Aplicamos la regla:
    limx→∞ (3-5x)2 / (-9x2 – x)=limx→∞ (9+25x2-30) / (-9x2 – x)=25/-9=-25/9

    Solución: limx→∞ (3-5x)2 / (-9x2 – x)=-25/9
    limx→1 ((2x-1)1/2 – x1/2) / (x-1)=0/0 → Indeterminación
    Resolvemos como la nº 6, multiplicando y dividiendo por el conjugado:
    limx→1 (2x-1)1/2 – x1/2) / (x-1) = limx→1 (2x-1)1/2 – x1/2)(2x-1)1/2 + x1/2) /(x-1)((2x-1)1/2 + x1/2) = limx→1 ((2x-1) – x)) /(x-1)((2x-1)1/2 + x1/2) =
    limx→1 (x-1) /(x-1)((2x-1)1/2 + x1/2) = limx→1 1/((2x-1)1/2 + x1/2)=1/2

    Solución: limx→1 ((2x-1)1/2 – x1/2) / (x-1)=1/2

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