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Examen 1Ev2009p4-Sistema de inecuaciones lineales

Aurora Lucas — Fri, 04 Dec 2009 08:13:16 +0000

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones lineales:

(2x-3y)/4≤1

y-x/3 >2

Solución:

Para resolver un sistema de inecuaciones gráficamente, lo primero que tenemos que hacer es dibujar las rectas, ver cuál es el semiplano que verifica la inecuación en cada caso y luego marcar la zona común:

(2x-3y)/4 = 1; 2x – 3y = 4; 2x – 4 = 3y; y = (2x-4)/3

Para representar una recta necesitamos dos puntos cualquiera que verifiquen la ecuación de la recta: x=2, y=0; x=5, y=2

Ahora deberemos ver qué semiplano verifica la inecuación:

(0,0) → (2.0-3.0)/4≤1; 0 ≤ 1; OK → Todos los puntos del lado de (0,0) verifican la inecuación. También los puntos de la recta, puesto que es ≤.

Hacemos lo mismo con la 2ª recta:

y-x/3 = 2; y=2+x/3; y=(6+x)/3

Para representar una recta necesitamos dos puntos cualquiera que verifiquen la ecuación de la recta: x=0, y=2; x=3, y=3

Ahora deberemos ver qué semiplano verifica la inecuación:

(0,0) → 0-0/3 >2; 0 > 2; NO → Los puntos del lado de (0,0) no verifican la inecuación. Tampoco los puntos de la recta, puesto que es >.

Inecuaciones

Aurora Lucas — Fri, 23 Oct 2009 17:12:26 +0000

Resuelve las siguientes inecuaciones y representa en la recta real, determinando si se trata de un intervalo, una semirrecta o un entorno.

-(x+4)/5 > 2 + (3x+1)/15 – (x+4)/3
2x² – 16x + 24 ≥ 3
(3x²-15x+18)/(x²+4x+3) ≤ 0
|x-4|<2
|x+3|≥3
|x/2-1|<2/3
|x-5/3|≤-2

Ecuaciones e Inecuaciones

Aurora Lucas — Fri, 23 Oct 2009 17:11:46 +0000

Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

x⁵-x⁴-2x³+x+1=0
(2x-1)^1/2 + (2x+1)^1/2=1/(2x-1)^1/2
x/(x+1) + (x+1)/x = 13/6
|x- 3/4| ≤ 1/2
|2x+3| > 6
x(x+5) > 2x²
(x²-2x+1)/(x²-1) ≥0
(3x-11)/20 – (5x+1)/14 = (x-7)/10 – (5x-6)/21
x + (5x+10)^1/2 = 8
6x³ + x² – 26x – 21 = 0

Ecuaciones e Inecuaciones

Aurora Lucas — Sun, 18 Oct 2009 17:40:26 +0000

Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones:
a) (x² – 1) / ( x + 3) ≤ 0
b) ( 7 + 2x )^1/2 – ( 3 + x )^1/2 = 1

Solución

a) (x² – 1) / ( x + 3) ≤ 0
Es una inecuación no lineal, de modo que hay que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor:
x²-1=0 → x²=1 → x = √1 → x=1 y x=-1
La factorización quedaría: x²-1=1.(x-1)(x+1)
El denominador ya está factorizado: x+3 → raíz x=-3
Estudiamos el signo de cada factor.

	(-∞,-3)	(-3,-1)	(-1,1)	(1,+∞)
(x-1)	-	-	-	+
(x+1)	-	-	+	+
(x+3)	-	+	+	+
1.(x-1)(x+1)/(x+3)	-	+	-	+

Como es ≤ 0, tenemos que coger los intervalos “-” y los valores que hacen “0″ la fracción, es decir, los ceros del numerador ( nunca los del denominador )

Solución: x∈;(-∞,-3) U [-1,1]

b) ( 7 + 2x )^1/2 – ( 3 + x )^1/2 = 1
Se trata de una ecuación con raíces. El procedimiento es el siguiente:

Aislamos una raíz y elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación. Si siguen quedando raíces, repetimos el procedimiento hasta que no quede ninguna raíz.
Cuando elevamos al cuadrado podemos estar introduciendo soluciones que no lo sean de nuestra ecuación original, de modo que una vez obtenidas las posibles soluciones, es necesario comprobar.

( 7 + 2x )^1/2 = 1 + ( 3 + x )^1/2 → Elevamos al cuadrado los dos miembros
((7+2x)^1/2)²=(1 + (3 + x)^1/2)² → 7 + 2x = 1 + (3+x) + 2√(3+x)
Dejamos lo que tiene raíz en un miembro y lo que no en el otro miembro:
7 + 2x -1 -3 – x = 2√(3+x) → Agrupamos términos semejantes → 3+x=2√(3+x)
Elevamos los dos miembros al cuadrado → (3+x)²=(2√(3+x))²
9+x²+ 6x=4(3+x) → 9+x²+ 6x – 12 – 4x=0 ; x² + 2x – 3 = 0
Resolvemos la ecuación de 2º grado: x=(-2±√(4+12))/2=(-2±√16)/2=(-2±4)/2 → x=(-2+4)/2 y x=(-2-4)/2 → x=1 y x=-3
Comprobamos las posibles soluciones:
x=1
( 7 + 2x )^1/2 – ( 3 + x )^1/2 = 1 → ( 7 + 2.1 )^1/2 – ( 3 + 1 )^1/2 = 1
√9 – √4 = 1 → 3 – 2 = 1 → CORRECTO x=1 es solución
x=-3
(7+2x)^1/2 – (3 + x)^1/2 = 1 → ( 7 + 2.(-3) )^1/2 – ( 3 + (-3) )^1/2 = 1
√1 – √0 = 1 → 1 – 0 = 1 → CORRECTO x=-3 es solución

Soluciones: x=1 y x=-3

Inecuaciones

Aurora Lucas — Sun, 18 Oct 2009 17:36:12 +0000

Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2 + x > 5(x+1)
b) x + (x-1)/5 < 2x – (3-x)/2
c) x² + 2x – 15 < 0
d) (4 – x²) / (x+1) ≤ 0

Solución

[-]

a) 2 + x > 5(x+1) es una inecuación lineal
Quitamos los paréntesis: 2 + x > 5x + 5
Dejamos las x de un lado y lo que no tiene x del otro: 2 – 5 > 5x – x
Agrupamos términos semejantes: -3 > 4x → -3/4 > x
¡OJO! Si el número por el que dividimos hubiera sido negativo, habría tenido que cambiar el signo de la desigualdad.

Solución: x < -3/4 → x ∈(-∞ , -3/4)

b) x + (x-1)/5 < 2x – (3-x)/2 es una inecuación lineal
Ponemos denominador común: M.C.M: 10
10x + 2(x-1) < 20x – 5(3-x) ← quitamos los paréntesis
10x + 2x – 2 < 20x – 15 + 5x ← agrupamos términos semejantes
12x – 2 < 25x -15 ← pasamos todo lo que tiene x a un lado y lo que no al otro
12x – 25x < -15 + 2 → -13x < -13 ← dividimos todo por -13 ( ojo! es negativo )
x > -13/(-13) → x > 1

Solución: x > 1 → x ∈( 1 , ∞ )

c) x² + 2x – 15 < 0 es una inecuación no lineal: hay que factorizar y estudiar el signo de cada factor.
x² + 2x - 15 = 0 → x=(-2 ± √(4+60) )/2 → x=(-2 ± 8)/2 → x=(-2+8)/2 y x=x=(-2-8)/2 → x=3 y x=-5
La factorización quedaría: x² + 2x – 15 = 1.(x-3)(x+5)
Estudiamos el signo de cada factor

	(-∞,-5)	(-5,3)	(3,+∞)
x-3	-	-	+
x+5	-	+	+
1.(x-3).(x+5)	+	-	+

Como es <0, tengo que coger los tramos que son -

Solución: x ∈(-5,3)

d) (4 – x²) / (x+1) ≤ 0 es una inecuación no lineal: hay que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor.
Factorización del numerador:
4-x²=0 → 4=x² → x=√4 → x=2 y x=-2
La factorización queda (OJO! el coeficiente que acompaña a la x de mayor orden es negativo y hay que tenerlo en cuenta en el estudio del signo) 4-x²=-1(x-2)(x+2)
Factorización del denominador:
ya está factorizado x+1=0 → raiz x=-1
Estudiamos el signo de cada factor:

	(-∞,-2)	(-2,-1)	(-1,2)	(2,+∞)
x-2	-	-	-	+
x+2	-	+	+	+
x+1	-	-	+	+
(-1).(x-2).(x+2)/(x+1)	+	-	+	-

Como es ≤ 0 tenemos que coger los - y los que hacen 0 la fracción, es decir, los ceros del numerador ( nunca los del denominador )

Solución: x ∈[-2,-1) U [2,+∞)