a) (x² – 1) / ( x + 3) ≤ 0
Es una inecuación no lineal, de modo que hay que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor:
x²-1=0 → x²=1 → x = √1 → x=1 y x=-1
La factorización quedaría: x²-1=1.(x-1)(x+1)
El denominador ya está factorizado: x+3 → raíz x=-3
Estudiamos el signo de cada factor.

	(-∞,-3)	(-3,-1)	(-1,1)	(1,+∞)
(x-1)	-	-	-	+
(x+1)	-	-	+	+
(x+3)	-	+	+	+
1.(x-1)(x+1)/(x+3)	-	+	-	+

Como es ≤ 0, tenemos que coger los intervalos “-” y los valores que hacen “0″ la fracción, es decir, los ceros del numerador ( nunca los del denominador )

b) ( 7 + 2x )^1/2 – ( 3 + x )^1/2 = 1
Se trata de una ecuación con raíces. El procedimiento es el siguiente:

• Aislamos una raíz y elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación. Si siguen quedando raíces, repetimos el procedimiento hasta que no quede ninguna raíz.
• Cuando elevamos al cuadrado podemos estar introduciendo soluciones que no lo sean de nuestra ecuación original, de modo que una vez obtenidas las posibles soluciones, es necesario comprobar.

( 7 + 2x )^1/2 = 1 + ( 3 + x )^1/2 → Elevamos al cuadrado los dos miembros
((7+2x)^1/2)²=(1 + (3 + x)^1/2)² → 7 + 2x = 1 + (3+x) + 2√(3+x)
Dejamos lo que tiene raíz en un miembro y lo que no en el otro miembro:
7 + 2x -1 -3 – x = 2√(3+x) → Agrupamos términos semejantes → 3+x=2√(3+x)
Elevamos los dos miembros al cuadrado → (3+x)²=(2√(3+x))²
9+x²+ 6x=4(3+x) → 9+x²+ 6x – 12 – 4x=0 ; x² + 2x – 3 = 0
Resolvemos la ecuación de 2º grado: x=(-2±√(4+12))/2=(-2±√16)/2=(-2±4)/2 → x=(-2+4)/2 y x=(-2-4)/2 → x=1 y x=-3
Comprobamos las posibles soluciones:
x=1
( 7 + 2x )^1/2 – ( 3 + x )^1/2 = 1 → ( 7 + 2.1 )^1/2 – ( 3 + 1 )^1/2 = 1
√9 – √4 = 1 → 3 – 2 = 1 → CORRECTO x=1 es solución
x=-3
(7+2x)^1/2 – (3 + x)^1/2 = 1 → ( 7 + 2.(-3) )^1/2 – ( 3 + (-3) )^1/2 = 1
√1 – √0 = 1 → 1 – 0 = 1 → CORRECTO x=-3 es solución

a) 2 + x > 5(x+1) es una inecuación lineal
Quitamos los paréntesis: 2 + x > 5x + 5
Dejamos las x de un lado y lo que no tiene x del otro: 2 – 5 > 5x – x
Agrupamos términos semejantes: -3 > 4x → -3/4 > x
¡OJO! Si el número por el que dividimos hubiera sido negativo, habría tenido que cambiar el signo de la desigualdad.

b) x + (x-1)/5 < 2x – (3-x)/2 es una inecuación lineal
Ponemos denominador común: M.C.M: 10
10x + 2(x-1) < 20x – 5(3-x) ← quitamos los paréntesis
10x + 2x – 2 < 20x – 15 + 5x ← agrupamos términos semejantes
12x – 2 < 25x -15 ← pasamos todo lo que tiene x a un lado y lo que no al otro
12x – 25x < -15 + 2 → -13x < -13 ← dividimos todo por -13 ( ojo! es negativo )
x > -13/(-13) → x > 1

c) x² + 2x – 15 < 0 es una inecuación no lineal: hay que factorizar y estudiar el signo de cada factor.
x² + 2x - 15 = 0 → x=(-2 ± √(4+60) )/2 → x=(-2 ± 8)/2 → x=(-2+8)/2 y x=x=(-2-8)/2 → x=3 y x=-5
La factorización quedaría: x² + 2x – 15 = 1.(x-3)(x+5)
Estudiamos el signo de cada factor

	(-∞,-5)	(-5,3)	(3,+∞)
x-3	-	-	+
x+5	-	+	+
1.(x-3).(x+5)	+	-	+

Como es <0, tengo que coger los tramos que son -

d) (4 – x²) / (x+1) ≤ 0 es una inecuación no lineal: hay que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor.
Factorización del numerador:
4-x²=0 → 4=x² → x=√4 → x=2 y x=-2
La factorización queda (OJO! el coeficiente que acompaña a la x de mayor orden es negativo y hay que tenerlo en cuenta en el estudio del signo) 4-x²=-1(x-2)(x+2)
Factorización del denominador:
ya está factorizado x+1=0 → raiz x=-1
Estudiamos el signo de cada factor:

	(-∞,-2)	(-2,-1)	(-1,2)	(2,+∞)
x-2	-	-	-	+
x+2	-	+	+	+
x+1	-	-	+	+
(-1).(x-2).(x+2)/(x+1)	+	-	+	-

Como es ≤ 0 tenemos que coger los - y los que hacen 0 la fracción, es decir, los ceros del numerador ( nunca los del denominador )