¿Qué son funciones inversas? Calcula el dominio y el recorrido de y=7x/(2x-3)

Solución:

Funciones inversas son aquellas que lo que hace la una lo deshace la otra y lo que hace la otra lo deshace la una. Matemáticamente: si f(x) y g(x) son funciones inversas → f(g(x))=g(f(x))=x

Dominio: puesto que se trata de una función racional, los únicos puntos que no pertenecerán al dominio de la función serán los que hacen 0 el denominador de la función:

2x-3=0; x=3/2

Dom (f(x)) = { x € R – x=3/2 } = x € (-∞, 3/2) U (3/2 , +∞)

Para estudiar el recorrido de la función tenemos que recurrir a una propiedad que cumplen las funciones inversas: si f(x) y g(x) son funciones inversas → Dom(f(x))=Rec(g(x)) y Rec(f(x))=Dom(g(x))

Si calculamos g(x) y estudiamos su dominio, tendremos Rec(f(x))

Para encontrar la inversa de una función lo que haremos será cambiar la x por la y en f(x) y después despejar la y:

x=7y/(2y-3); x(2y-3)=7y; 2xy – 3x = 7y; 2xy – 7y = 3x; y(2x-7)=3x; y = 3x/(2x-7)

g(x) = 3x/(2x-7) ← función inversa de f(x)

Puesto que se trata de una función racional, su dominio será:

Dom(g(x))= { x € R excepto 2x-7=0 }= { x € R – x=7/2 } = x € (-∞, 7/2) U (7/2 , +∞)

Rec(f(x))=Dom(g(x))={ x € R – x=7/2 } = x € (-∞, 7/2) U (7/2 , +∞)

Determina el dominio de la siguiente función:
f(x)=(x²-4)^1/2 / ( x² – 3x – 4 )

Solución:

Dominio de una función son los valores que puede tomar la variable independiente (x) para que exista la variable dependiente (y).

En este caso tenemos una función racional, que además tiene una raíz, luego debera cumplir dos cosas:

1. Que el denominador sea distinto de 0 → x² – 3x – 4 ≠ 0

2. Que el radicando sea mayor o igual que 0 → x²-4 ≥ 0

x² – 3x – 4=0 → x=4 y x=1 → Estos valores de x no pueden pertenecer al dominio de f(x)

x²-4 ≥ 0 → se trata de una inecuación no lineal, de modo que deberemos resolverla factorizando y estudiando el signo de cada factor

x²-4=0; x=2, x=-2; x²-4=(x-2)(x+2)

Verifican la inecuación x € (-∞,-2]U[2,+∞), pero además tenemos que tener en cuenta el resultado de la primera condición: x no puede ser ni 4, ni 1. 1 ya no está incluido, pero 4 sí, de modo que debemos sacarlo de la solución:

Solución: dom(f(x)) = { x € (-∞,-2]U[2,4) U(4,+∞)}

Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, -1) y (2,5). Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, -3) y cuya pendiente es -2. Determina si las rectas son paralelas. Si no lo son, calcula el punto de corte de las dos rectas.

Solución

La ecuación de una recta es y=ax+b
Tenemos que calcular a, es decir, la pendiente de la recta y b, es decir, la ordenada en el origen.
Como la recta pasa por (-1, -1) y (2,5) se tiene que verificar que:
-1 = a.(-1) + b
5 = a.(2) + b
Tengo un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas que resuelvo por reducción, por ejemplo:
(1) – (2) → -1-5 = -a – 2a → -6 = -3a → a=-6/-3=2
Con el valor de a, calculo el valor de b:
-1 = 2.(-1) + b → -1 = -2 + b → b = -1 + 2 = 1

Para la recta que pasa por (0,-3) y tiene por pendiente -2 → y=-2x+b
Para calcular b, como el punto (0,-3) pertenece a la recta: -3=-2.0 +b → b=-3

Para que dos rectas sean paralelas tienen que tener la misma pendiente y estas rectas no la tienen, así es que no son paralelas, y por lo tanto, se cortarán en un punto.
Para calcular el punto en el que se cortan, que es el punto que pertenece a las dos rectas, resolvemos el sistema:
y=2x+1
y=-2x-3
2x+1=-2x-3 → 2x+2x=-3+1 → 4x=-2 → x=-2/4 → x=-1/2
y=2.(-1/2) + 1 = -1 + 1 = 0

Dada las siguiente función:
f(x) = (3x²) / (x²-1)
a) Calcula su función inversa
b) Estudia su dominio y su recorrido

Solución

La _función inversa_ de f(x) es una función g(x) que verifica que f(g(x)) = g(f(x)) = x

Para encontrar la función inversa lo que hacemos es sustituir y por x y x por y. Después despejamos y.
y=(3x²) / (x²-1) → x = (3y²) / (y²-1)
Quitamos el denominador → x(y²-1)=3y²
Desarrollamos el paréntesis → xy² – x = 3y²
Ponemos del mismo lado todo lo que tiene y → xy² – 3y² = x
Sacamos factor común de y² → y²(x-3)=x
Despejamos y² → y² = x / (x-3)
Despejamos y → y = (x/(x-3))^1/2

b) Se trata de una función racional, de modo que la función sólo puede tener problemas de dominio en los puntos que hacen “0″ el denominador de la función.
x²-1=0 → x²=1 → x=√1 → x=1 y x=-1

Para estudiar el recorrido de la función necesitamos conocer la función inversa:
Si f(x) y g(x) son funciones inversas se verifica que: Domf(x)=Recg(x) y Recf(x)=Domg(x)
Estudiando el Recg(x) tendremos el Domf(x)
g(x)=(x/(x-3))^1/2
Puesto que se trata de una función irracional Domg(x) = {x∈R / x/(x-3) ≥ 0}
Debemos resolver una inecuación no lineal por lo que habrá que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor.
x=0 → raíz x=0
x-3=0 → raíz x=3

Puesto que buscamos x/(x-3) ≥ 0 nos quedaremos con los intervalos “+” y con los que hacen “0″ el cociente, es decir, con los ceros del numerador

Obtén la función inversa de f(x) = x / (2x-3). Demuestra que lo es. Calcula el dominio y el recorrido de f(x).

Solución

a) Para calcular la inversa lo que tenemos que hacer es cambiar x por y e y por x y luego despejar la y.
y = x / (2x-3) → función inversa x = y / (2y-3) → quitamos el denominador → x(2y-3) = y → Quitamos el paréntesis → 2yx – 3x = y → Ponemos de un lado todo lo que tiene y y del otro lo que no la tiene →
2yx – y = 3x → Sacamos factor común de y → y(2x-1) = 3x → Despejamos y → y = 3x / (2x-1)

b) Para demostrar que g(x) es la función inversa de f(x) debemos recurrir a la definición:
f(x) y g(x) son funciones inversas si: f(g(x)) = g(f(x)) = x

c) Puesto que f(x) es una función racional, no pertenecerán al dominio de f(x) los puntos que hecen 0 el denominador de la función:

Calcula el dominio de las siguientes funciones:
f(x) = (x²-9)^1/2 / (4-x²)
g(x) = (x-3) / (x²+5x-6)^1/2

Solución