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Operaciones con potencias

Aurora Lucas — Mon, 22 Feb 2010 17:44:22 +0000

Opera y expresa como un único radical.

(2^-2/3. 9 ^1/4 . √ 32) / 27^1/3
((x+1)^1/3. √ (x+1)^-2/3) / (x+1)³
(9^-1/3.3⁴.3^-5/6)/((√3)³.(1/9)⁶)
(2^-1/3.4⁴.2^-5/6.(1/2)^1/2)/((√8)^-2.2^^5/2)
(4^-3/2.16^2/3.4)/((1/4)^3/2.16^1/5)^1/2
((x+1)³.(x+1)^-5/3.(x+1)²)/(x+1)³.(x+1)^-2/3)
(ab)²/(a.√b + b.√a)

Examen 1Ev2009P2- Ecuaciones racionales e irracionales

Aurora Lucas — Thu, 03 Dec 2009 09:32:22 +0000

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (6+2x)^1/2 – (4+x)^1/2=1

b) (2-3x)/(x-3) – x²/(x²-5x+6) = -2x/(x-2)

Solución:

a) Se trata de una ecuación irracional, de manera que debemos elevar al cuadrado ambos términos de la ecuación para eliminar las raíces:

[(6+2x)^1/2 - (4+x)^1/2]²=(1)² ; (6+2x) + (4+x) -2(6+2x)^1/2.(4+x)^1/2=1

Aislamos las raíces y volvemos a elevar al cuadrado para quitar definitivamente las raíces:

3x+9 = 2(6+2x)^1/2.(4+x)^1/2; (3x+9)² = [2(6+2x)^1/2.(4+x)^1/2]²

9x² + 81 + 54x = 4(24 + 14x + 2x²); x² – 2x – 15 = 0

Resolvemos la ecuación de 2º grado: x = ( 2 ± (4+60)^1/2)/2 = (2±8)/2; x=5, x=-3

Tenemos 2 posibles soluciones. Debemos comprobar si de verdad son soluciones, puesto que se trata de una ecuación irracional y al elevar al cuadrado podemos estar introduciendo soluciones que no lo sean de nuestra ecuación original:

x=5; √16 – √9 = 1 → x=5 es solución

x=-3; √0 – √1 = 1 → -1=1 → x=-3 no es solución

Solución: x=5

b) Se trata de una ecuación racional, de modo que el primer paso será factorizar los denominadores para encontrar el denominador común y quitar denominadores:

x²-5x+6=(x-3)(x-2)

(2-3x)/(x-3) – x²/(x²-5x+6) = -2x/(x-2); (2-3x)(x-2)/(x-2)(x-3) – x²/(x²-5x+6) = -2x(x-3)/(x-2)(x-3);

(2-3x)(x-2) – x² = -2x(x-3); x²-x+2=0

Resolvemos la ecuación de 2º grado: x=( 2 ± (1-8)^1/2)/2 → No hay solución puesto que nos queda la raíz de un número negativo

Simplificar-20091p1EvP4

Aurora Lucas — Tue, 27 Oct 2009 10:12:55 +0000

Simplifica todo lo posible las siguientes expresiones:

Sistemas de ecuaciones-20091p1EvP3

Aurora Lucas — Tue, 27 Oct 2009 09:38:02 +0000

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones indicando de qué tipo son:

3x + y/2 = 15
2/x + 3/y = 1

2(2x+y) – 3(3x-2y)=-34
x/2 – y/3 = 2

Solución

a) Lo primero que debemos hacer es eliminar los denominadores, poniendo común denominador:

6x + y = 30
2y + 3x = xy

Sistema de ecuaciones no lineales. Hay que resolver por sustitución

y=30-6x
2(30-6x) + 3x = x(30-6x)

60-12x+3x=30x-6x² → 2x² -13x + 20 = 0; x=(13±3)/4; x=4 y x=5/2

Si x=4 → y=30-6.4=6

Si x=5/2 → y=30 -6.5/2=15

Se trata de un sistema con dos soluciones: x=4, y=6 y x=5/2, y=15

b) Desarrollamos los paréntesis y quitamos los denominadores:

4x + 2y – 9x + 6y = -34
3x – 2y = 12

-5x+8y=-34
3x-2y=12

Sistema de ecuaciones lineales. Podemos resolver por sustitución o por reducción.
Si lo hacemos por reducción: F1+4F2 → 7x=14 → x=2; Sustituyendo en la 1ª ecuación: -5.2 + 8y= -34 ; y=-3

Es un S.C.D. Solución: x=2, y=-3

Ecuaciones-20091p1EvP2

Aurora Lucas — Tue, 27 Oct 2009 09:02:27 +0000

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (2x-1)^1/2 + (x+4)^1/2 = 6
b) 2log(x) – log(x-16) = 2
c) 3^x-1 + 3^x + ^x+1 = 117
d) 4^x – 5.2^x + 4 = 0
e) (x+9)/x – (5+x)/(x+2) = (12x+12)/(x² + 2x)
f) 4x⁴ + 7x² – 2 = 0

Solución:

a) Es una ecuación irracional. Debemos elevar al cuadrado los 2 términos de la igualdad para intentar quitar las raíces.

(2x-1) + (x+4) + 2(2x-1)^1/2(x+4)^1/2=36 → 3x + 3 + 2(2x-1)^1/2(x+4)^1/2=36

Aislamos las raíces y volvemos a elevar al cuadrado:

2(2x-1)^1/2(x+4)^1/2=33-3x → 4(2x-1)(x+4) = 1089 + 9x² – 198x → 4(2x² + 8x – x – 4)=1089 + 9x² – 198x

Reagrupamos términos y resolvemos la ecuación de 2º grado:

x² – 226x + 1105 = 0 → x=(226±216)/2 → x=221 y x=5

Puesto que se trata de una ecuación irracional, debemos comprobar las soluciones:

si x=221 → (2.221-1)^1/2 + (221+4)^1/2 = 6; 21 + 15 = 36 ≠ 6 → No es solución

si x=5 → (2.5-1)^1/2 + (5+4)^1/2 = 6 → Es solución

b) Es una ecuación logarítmica. Aplicamos las propiedades de los logaritmos para dejar un solo logaritmo a la izquierda y un solo logaritmo a la derecha y de ese modo igualar los argumentos de los logaritmos:

log(x²/(x-16))=log(100) → x²/(x-16) = 100 Nos queda una ecuación irracional

x²= (x-16).100 → x²-100x + 1600 = 0 → x=(100±60)/2; x=80 y x=20

Por ser una ecuación logarítmica, y puesto que no existe el logaritmo de un número negativo, comprobamos las soluciones:

2log(80) – log(80-16) = 2 → x=80 es solución

2log(20) – log(20-16) = 2 → x=20 es solución

c) Se trata de una ecuación exponencial: 3^x/3 + 3^x + 3.3^x = 117 → 3^x (1/3 + 1 + 3) = 117 → 3^x.13/3=117 → 3^x=117.3/13

→ 3^x=27 → 3^x=3³ → Solución: x=3

d) Se trata de una ecuación exponencial que hay que resolver por cambio de variable: 2^x=z → z² – 5z + 4 = 0

Resolvemos la ecuación de 2º grado:

z=(5±3)/2 → z=4 y z=1

Deshacemos el cambio de variable:

Si z=4 → 2^x=4 → x=2

Si z=1→ 2^x=1 → x=0

Soluciones: x=2 y x=0

e) Se trata de una ecuación racional. El primer paso será factorizar todos los denominadores para encontrar el denominador común. Realizaremos las operaciones y después quitaremos los denominadores.

(x+9)/x – (5+x)/(x+2) = (12x+12)/x(x + 2)

m.c.m.=x(x+2)

(x+2)(x+9) – x(5+x) = 12x + 12 → 6x+18=12x+12 → 6=6x → x=1

Comprobamos la solución puesto que se trata de una ecuación irracional:

10/1 – 6/3 = 24/3 → 8=8 → x=1 es solución

f) Se trata de una ecuación bicuadrada que resolveremos por cambio de variable.

NOTA: Puesto que es una ecuación de 4º grado, podríamos intentar resolver por Ruffini, pero esto solo nos proporcionaría soluciones enteras, mientras que el cambio de variable nos dará todas las soluciones y sin tener que tantear.

Cambio de variable: z=x²

4z² + 7z – 2 = 0; Resolvemos la ecuación de 2º grado: z=(-7±9)/8; z=1/4 y z=-2

Deshacemos el cambio de variable:

Si z=1/4 → x²=1/4 → x=√1/4 → x=1/2 y x=-1/2

Si z=-2 → x²=-2 → x=√-2 → No hay solución real

Solución: x=1/2 y x=-1/2

Ecuaciones e Inecuaciones

Aurora Lucas — Fri, 23 Oct 2009 17:11:46 +0000

Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

x⁵-x⁴-2x³+x+1=0
(2x-1)^1/2 + (2x+1)^1/2=1/(2x-1)^1/2
x/(x+1) + (x+1)/x = 13/6
|x- 3/4| ≤ 1/2
|2x+3| > 6
x(x+5) > 2x²
(x²-2x+1)/(x²-1) ≥0
(3x-11)/20 – (5x+1)/14 = (x-7)/10 – (5x-6)/21
x + (5x+10)^1/2 = 8
6x³ + x² – 26x – 21 = 0

Ecuaciones e Inecuaciones

Aurora Lucas — Sun, 18 Oct 2009 17:40:26 +0000

Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones:
a) (x² – 1) / ( x + 3) ≤ 0
b) ( 7 + 2x )^1/2 – ( 3 + x )^1/2 = 1

Solución

a) (x² – 1) / ( x + 3) ≤ 0
Es una inecuación no lineal, de modo que hay que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor:
x²-1=0 → x²=1 → x = √1 → x=1 y x=-1
La factorización quedaría: x²-1=1.(x-1)(x+1)
El denominador ya está factorizado: x+3 → raíz x=-3
Estudiamos el signo de cada factor.

	(-∞,-3)	(-3,-1)	(-1,1)	(1,+∞)
(x-1)	-	-	-	+
(x+1)	-	-	+	+
(x+3)	-	+	+	+
1.(x-1)(x+1)/(x+3)	-	+	-	+

Como es ≤ 0, tenemos que coger los intervalos “-” y los valores que hacen “0″ la fracción, es decir, los ceros del numerador ( nunca los del denominador )

Solución: x∈;(-∞,-3) U [-1,1]

b) ( 7 + 2x )^1/2 – ( 3 + x )^1/2 = 1
Se trata de una ecuación con raíces. El procedimiento es el siguiente:

Aislamos una raíz y elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación. Si siguen quedando raíces, repetimos el procedimiento hasta que no quede ninguna raíz.
Cuando elevamos al cuadrado podemos estar introduciendo soluciones que no lo sean de nuestra ecuación original, de modo que una vez obtenidas las posibles soluciones, es necesario comprobar.

( 7 + 2x )^1/2 = 1 + ( 3 + x )^1/2 → Elevamos al cuadrado los dos miembros
((7+2x)^1/2)²=(1 + (3 + x)^1/2)² → 7 + 2x = 1 + (3+x) + 2√(3+x)
Dejamos lo que tiene raíz en un miembro y lo que no en el otro miembro:
7 + 2x -1 -3 – x = 2√(3+x) → Agrupamos términos semejantes → 3+x=2√(3+x)
Elevamos los dos miembros al cuadrado → (3+x)²=(2√(3+x))²
9+x²+ 6x=4(3+x) → 9+x²+ 6x – 12 – 4x=0 ; x² + 2x – 3 = 0
Resolvemos la ecuación de 2º grado: x=(-2±√(4+12))/2=(-2±√16)/2=(-2±4)/2 → x=(-2+4)/2 y x=(-2-4)/2 → x=1 y x=-3
Comprobamos las posibles soluciones:
x=1
( 7 + 2x )^1/2 – ( 3 + x )^1/2 = 1 → ( 7 + 2.1 )^1/2 – ( 3 + 1 )^1/2 = 1
√9 – √4 = 1 → 3 – 2 = 1 → CORRECTO x=1 es solución
x=-3
(7+2x)^1/2 – (3 + x)^1/2 = 1 → ( 7 + 2.(-3) )^1/2 – ( 3 + (-3) )^1/2 = 1
√1 – √0 = 1 → 1 – 0 = 1 → CORRECTO x=-3 es solución

Soluciones: x=1 y x=-3

Ecuaciones

Aurora Lucas — Sun, 18 Oct 2009 17:37:45 +0000

Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x³-9x²+23x-15=0
b) 2x³+9x²+7x-6=0
c) (2x-1)^1/3 = 5
d) (2x-5)^1/2 – (x-3)^1/2 = 1

Solución

a) Se trata de una ecuación polinómica de grado superior a 2, de modo que utilizaremos Ruffini hasta llegar a la ecuación de 2º grado que sabemos resolver.
Ruffini dice: “Si un polinomio tiene raíces enteras estas serán divisores del término independiente”
Puesto que es un polinomio de 3º grado, como mucho tendrá 3 soluciones.
x³-9x²+23x-15=0; el término independiente es 15 → los divisores son: ±1, ±3, ±5, ±15

	1	-9	23	-15
1		1	-8	15
	1	-8	15	0

La primera solución será x=1
Nos queda una ecuación de 2º grado: x²-8x+15=0
x= (8 ± √(64-60)) / 2 → x=(8±√4)/2 → x=(8+2)/2 y x=(8-2)/2 → x=5 y x=3

Soluciones: x=1, x=5 y x=3

d) (2x-5)^1/2 – (x-3)^1/2 = 1
Se trata de una ecuación con raíces. El procedimiento es el siguiente:

Aislamos una raíz y elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación. Si siguen quedando raíces, repetimos el procedimiento hasta que no quede ninguna raíz.
Cuando elevamos al cuadrado podemos estar introduciendo soluciones que no lo sean de nuestra ecuación original, de modo que una vez obtenidas las posibles soluciones, es necesario comprobar.

(2x-5)^1/2 = 1 + (x-3)^1/2→ Elevamos al cuadrado los dos miembros
((2x-5)^1/2)² = (1 + (x-3)^1/2)² → 2x-5 = 1 + (x-3) + 2√(x-3)
Dejamos lo que tiene raíz en un miembro y lo que no en el otro miembro:
2x-5 -1 – x + 3 = 2√(x-3) → Agrupamos términos semejantes → x-3=2√(3+x)
Elevamos los dos miembros al cuadrado → (3+x)²=(2√(3+x))²
x²- 6x + 9=4(3+x) → x²- 6x + 9 – 12 – 4x=0 ; x² – 10x + 21 = 0
Resolvemos la ecuación de 2º grado: x=(10±√(100-84))/2=(10±√16)/2=(10±4)/2 →
x=(10+4)/2 y x=(10-4)/2 → x=7 y x=3
Comprobamos las posibles soluciones:
x=7
(2x-5)^1/2 – (x-3)^1/2= 1 → (2.7-5)^1/2 – (7-3)^1/2 = 1
√9 – √4 = 1 → 3 – 2 = 1 → CORRECTO x=7 es solución
x=3
(2x-5)^1/2 – (x-3)^1/2 = 1 → (2.3-5)^1/2 – (3-3)^1/2 = 1
√1 – √0 = 1 → 1 – 0 = 1 → CORRECTO x=3 es solución

Soluciones: x=7 y x=3