Opera y expresa como un único radical.

• (2^-2/3. 9 ^1/4 . √ 32) / 27^1/3
• ((x+1)^1/3. √ (x+1)^-2/3) / (x+1)³
• (9^-1/3.3⁴.3^-5/6)/((√3)³.(1/9)⁶)
• (2^-1/3.4⁴.2^-5/6.(1/2)^1/2)/((√8)^-2.2^^5/2)
• (4^-3/2.16^2/3.4)/((1/4)^3/2.16^1/5)^1/2
• ((x+1)³.(x+1)^-5/3.(x+1)²)/(x+1)³.(x+1)^-2/3)
• (ab)²/(a.√b + b.√a)

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Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (6+2x)^1/2 – (4+x)^1/2=1

b) (2-3x)/(x-3) – x²/(x²-5x+6) = -2x/(x-2)

Solución:

a) Se trata de una ecuación irracional, de manera que debemos elevar al cuadrado ambos términos de la ecuación para eliminar las raíces:

[(6+2x)^1/2 - (4+x)^1/2]²=(1)² ; (6+2x) + (4+x) -2(6+2x)^1/2.(4+x)^1/2=1

Aislamos las raíces y volvemos a elevar al cuadrado para quitar definitivamente las raíces:

3x+9 = 2(6+2x)^1/2.(4+x)^1/2; (3x+9)² = [2(6+2x)^1/2.(4+x)^1/2]²

9x² + 81 + 54x = 4(24 + 14x + 2x²); x² – 2x – 15 = 0

Resolvemos la ecuación de 2º grado: x = ( 2 ± (4+60)^1/2)/2 = (2±8)/2; x=5, x=-3

Tenemos 2 posibles soluciones. Debemos comprobar si de verdad son soluciones, puesto que se trata de una ecuación irracional y al elevar al cuadrado podemos estar introduciendo soluciones que no lo sean de nuestra ecuación original:

x=5; √16 – √9 = 1 → x=5 es solución

x=-3; √0 – √1 = 1 → -1=1 → x=-3 no es solución

Solución: x=5

b) Se trata de una ecuación racional, de modo que el primer paso será factorizar los denominadores para encontrar el denominador común y quitar denominadores:

x²-5x+6=(x-3)(x-2)

(2-3x)/(x-3) – x²/(x²-5x+6) = -2x/(x-2); (2-3x)(x-2)/(x-2)(x-3) – x²/(x²-5x+6) = -2x(x-3)/(x-2)(x-3);

(2-3x)(x-2) – x² = -2x(x-3); x²-x+2=0

Resolvemos la ecuación de 2º grado: x=( 2 ± (1-8)^1/2)/2 → No hay solución puesto que nos queda la raíz de un número negativo

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Simplifica todo lo posible las siguientes expresiones:

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Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones indicando de qué tipo son:

Solución

a) Lo primero que debemos hacer es eliminar los denominadores, poniendo común denominador:

60-12x+3x=30x-6x² → 2x² -13x + 20 = 0; x=(13±3)/4; x=4 y x=5/2

Si x=4 → y=30-6.4=6

Si x=5/2 → y=30 -6.5/2=15

Se trata de un sistema con dos soluciones: x=4, y=6 y x=5/2, y=15

b) Desarrollamos los paréntesis y quitamos los denominadores:

Sistema de ecuaciones lineales. Podemos resolver por sustitución o por reducción.
Si lo hacemos por reducción: F1+4F2 → 7x=14 → x=2; Sustituyendo en la 1ª ecuación: -5.2 + 8y= -34 ; y=-3

Es un S.C.D. Solución: x=2, y=-3

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Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (2x-1)^1/2 + (x+4)^1/2 = 6
b) 2log(x) – log(x-16) = 2
c) 3^x-1 + 3^x + ^x+1 = 117
d) 4^x – 5.2^x + 4 = 0
e) (x+9)/x – (5+x)/(x+2) = (12x+12)/(x² + 2x)
f) 4x⁴ + 7x² – 2 = 0

Solución:

a) Es una ecuación irracional. Debemos elevar al cuadrado los 2 términos de la igualdad para intentar quitar las raíces.

(2x-1) + (x+4) + 2(2x-1)^1/2(x+4)^1/2=36 → 3x + 3 + 2(2x-1)^1/2(x+4)^1/2=36

Aislamos las raíces y volvemos a elevar al cuadrado:

2(2x-1)^1/2(x+4)^1/2=33-3x → 4(2x-1)(x+4) = 1089 + 9x² – 198x → 4(2x² + 8x – x – 4)=1089 + 9x² – 198x

Reagrupamos términos y resolvemos la ecuación de 2º grado:

x² – 226x + 1105 = 0 → x=(226±216)/2 → x=221 y x=5

Puesto que se trata de una ecuación irracional, debemos comprobar las soluciones:

si x=221 → (2.221-1)^1/2 + (221+4)^1/2 = 6; 21 + 15 = 36 ≠ 6 → No es solución

si x=5 → (2.5-1)^1/2 + (5+4)^1/2 = 6 → Es solución

b) Es una ecuación logarítmica. Aplicamos las propiedades de los logaritmos para dejar un solo logaritmo a la izquierda y un solo logaritmo a la derecha y de ese modo igualar los argumentos de los logaritmos:

log(x²/(x-16))=log(100) → x²/(x-16) = 100 Nos queda una ecuación irracional

x²= (x-16).100 → x²-100x + 1600 = 0 → x=(100±60)/2; x=80 y x=20

Por ser una ecuación logarítmica, y puesto que no existe el logaritmo de un número negativo,  comprobamos las soluciones:

2log(80) – log(80-16) = 2 → x=80 es solución

2log(20) – log(20-16) = 2 → x=20 es solución

c) Se trata de una ecuación exponencial: 3^x/3 + 3^x + 3.3^x = 117 → 3^x (1/3 + 1 + 3) = 117 → 3^x.13/3=117 → 3^x=117.3/13

→ 3^x=27 → 3^x=3³ → Solución: x=3

d) Se trata de una ecuación exponencial que hay que resolver por cambio de variable: 2^x=z → z² – 5z + 4 = 0

Resolvemos la ecuación de 2º grado:

z=(5±3)/2 → z=4 y z=1

Deshacemos el cambio de variable:

Si z=4 → 2^x=4 → x=2

Si z=1→ 2^x=1 → x=0

Soluciones: x=2 y x=0

e) Se trata de una ecuación racional. El primer paso será factorizar todos los denominadores para encontrar el denominador común. Realizaremos las operaciones y después quitaremos los denominadores.

(x+9)/x – (5+x)/(x+2) = (12x+12)/x(x + 2)

m.c.m.=x(x+2)

(x+2)(x+9) – x(5+x) = 12x + 12 → 6x+18=12x+12 → 6=6x → x=1

Comprobamos la solución puesto que se trata de una ecuación irracional:

10/1 – 6/3 = 24/3 → 8=8 → x=1 es solución

f) Se trata de una ecuación bicuadrada que resolveremos por cambio de variable.

NOTA: Puesto que es una ecuación de 4º grado, podríamos intentar resolver por Ruffini, pero esto solo nos proporcionaría soluciones enteras, mientras que el cambio de variable nos dará todas las soluciones y sin tener que tantear.

Cambio de variable: z=x²

4z² + 7z – 2 = 0; Resolvemos la ecuación de 2º grado: z=(-7±9)/8; z=1/4 y z=-2

Deshacemos el cambio de variable:

Si z=1/4 → x²=1/4 → x=√1/4 → x=1/2 y x=-1/2

Si z=-2 → x²=-2 → x=√-2 → No hay solución real

Solución: x=1/2 y x=-1/2

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Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

• x⁵-x⁴-2x³+x+1=0
• (2x-1)^1/2 + (2x+1)^1/2=1/(2x-1)^1/2
• x/(x+1) + (x+1)/x = 13/6
• |x- 3/4| ≤ 1/2
• |2x+3| > 6
• x(x+5) > 2x²
• (x²-2x+1)/(x²-1) ≥0
• (3x-11)/20 – (5x+1)/14 = (x-7)/10 – (5x-6)/21
• x + (5x+10)^1/2 = 8
• 6x³ + x² – 26x – 21 = 0

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Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones:
a) (x² – 1) / ( x + 3) ≤ 0
b) ( 7 + 2x )^1/2 – ( 3 + x )^1/2 = 1

Solución

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Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x³-9x²+23x-15=0
b) 2x³+9x²+7x-6=0
c) (2x-1)^1/3 = 5
d) (2x-5)^1/2 – (x-3)^1/2 = 1

Solución

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