Para optimizar, debemos derivar la función a optimizar e igualar la derivada a 0 para así obtener sus extremos relativos.
Primero debemos encontrar la función y expresarla en función de una única incógnita:
Sabemos que: S=x.y=3600m²
La funcióna minimizar es el perímero: P=2x + 2y
y=3600/x
P=2x+2(3600/x) = 2x + 7200/x
Derivamos: P’=2-7200/x²
Igualamos a 0: P’=0
2-7200/x²=0; (2x²-7200)/x²=0; 2x²-7200=0; 2x²=7200; x²=7200/2; x²=3600; x=±60

El valor x=-60m no tiene sentido, pues un objeto no puede tener dimensiones negativas, luego x=60m será la solución. y=3600/60=60m

Demostramos que se trata de un mínimo utilizando la 2ª derivada:
P”=14400/x³
P”(x=60)=14400/60³ > 0 → x=60 es un mínimo

Un punto de inflexión es un punto donde cambia la curvatura de la función.
Si x=a es un punto de inflexión → f”(a)=0

En el problema nos dan 2 datos:

• f(x) pasa por el punto (3,1), es decir f(3)=1
• x=3 es un punto de inflexión, es decir, f”(3)=0

Con esta información, obtenemos b y d
f(3)=1 → 1=3³+b3²+2.3+d → 1=27+9b+6+d → 9b+d=-32
f’(x)=3x²+2bx+2
f”(x)=6x+2b
f”(3)=0 → 6.3+2b=0 → 18+2b=0 → 2b=-18 → b=-18/2=-9

9b+d=-32; 9.(-9)+d=-32; -81+d=-32; d=-32+81; d=49

Tenemos 2 parámetros, luego deberemos encontrar 2 ecuaciones que nos permitan hallarlos. Nos dan 2 datos:

• La función pasa por el punto (1,1)
• La función tiene un mínimo en x=1 ( un extremo relativo )

Con estos dos datos sacamos que:
f(1)=1 y f’(1)=0
f(1)=1³+a.1²+b.1+1 = 1
f’(x)=3x²+2ax+b
f’(1)=3.1²+2a.1+b=0

---

1+a+b+1=1
3+2a+b=0

---

a+b=-1
2a+b=-3

---

Resolvemos por reducción:
-a=2; a=-2 → -2+b=-1; b=1

Para maximizar una función, debemos

• derivar
• igualar a cero.

Para ello, lo primero que tenemos que hacer es encontrar la función y hacer que dependa de una única incógnita.
La función a maximizar será: A=x.y
siendo x e y las dimensiones de mi rectángulo
El perímetro será: P=2x+2y=80
Despejamos y: 2y=80-2x; y=(80-2x)/2=40-x
Sustituimos en A:
A=x.(40-x)=40x-x²
Derivamos:
A’=40-2x
Igualamos a 0:
A’=0 → 40-2x=0; 40=2x; x=40/2=20m
Despejamos y=40-20=20m
Verificamos que se trata de un máximo utilizando la 2ª derivada:
A”=-2
A”(x=20)=-2 < 0 → x=20 es un máximo

La recta tangente a una función en un punto x=a es aquella que verifica que tiene la misma pendiente que la función en dicho punto y que pasa por el punto (x=a, f(a)). Su ecuación será: y=mx+n, siendo

• m=f’(a) ( es decir, tienen la misma pendiente )
• f(a)=m.a+n ( es decir, la recta pasa por el punto (a,f(a))

Empezamos por calcular el punto en el que hallar la tangente:
x=1 → f(1)=1³-4.1+2=-1 → el punto es (1,-1)

• Calculamos la pendiente:

f’(x)=3x²-4
m=f’(1)=3.1²-4=-1 → y=-1x+n

• La recta tangente debe pasar por el punto (1,-1)

-1=-1.1+n → n=0

Como desconocemos cuáles son los números, los llamaremos x e y:
x+y=10
La función que quiero minimizar es:
f=x²+y²
Para encontrar el máximo o el mínimo de una función debemos:
1.- Derivar
2.- Igualar a cero
pero para poder derivar, solo debe depender de una incógnita así es que utilizamos la primera ecuación para despejar una incógnita y sustituir.
f=x²+(10-x)²
f=x²+(100+x²-20x)=2x²-20x+100

• Derivamos

f’=4x-20

• Igualamos a cero

f’=0; 4x-20=0; 4x=20; x=20/4=5 → y=10-x=10-5=5

• Ahora demostramos que se trata de un mínimo, utilizando la 2ª derivada:

f”=4
f”(x=5)=4>0 → x=5 es un mínimo
NOTA: si nos hubiera salido que x=5 es unb máximo, deberíamos haber buscado el valor mínimo en los extremos de los valores que puede tomar x, es decir, x=0 o x=10, puesto que los valores máximos y mínimos pueden estar o bien entre los extremos relativos (f’=0) o bien en los extremos del intervalo.