Archive for the ‘Derivada: aplicaciones’ Category

  • Categories
    • No categories

    • Optimización. Perímetro mínimo

    Friday, February 19th, 2010

    Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 3600m2 de superficie para poderlo cercar mediante una valla de longitud mínima.

    Solución

    Para optimizar, debemos derivar la función a optimizar e igualar la derivada a 0 para así obtener sus extremos relativos.
    Primero debemos encontrar la función y expresarla en función de una única incógnita:
    Sabemos que: S=x.y=3600m2
    La funcióna minimizar es el perímero: P=2x + 2y
    y=3600/x
    P=2x+2(3600/x) = 2x + 7200/x
    Derivamos: P’=2-7200/x2
    Igualamos a 0: P’=0
    2-7200/x2=0; (2x2-7200)/x2=0; 2x2-7200=0; 2x2=7200; x2=7200/2; x2=3600; x=±60

    El valor x=-60m no tiene sentido, pues un objeto no puede tener dimensiones negativas, luego x=60m será la solución. y=3600/60=60m

    Demostramos que se trata de un mínimo utilizando la 2ª derivada:
    P”=14400/x3
    P”(x=60)=14400/603 > 0 → x=60 es un mínimo

    Solución: x=60m e y=60m

    Share

    Tags: ,
    Posted in Derivada: aplicaciones, Matemáticas C.C.S.S. 1 | No Comments »

    Puntos de inflexión

    Friday, February 19th, 2010

    Calcular los valores de b y d para que f(x)=x3+bx2+2x+d tenga un punto de inflexión en el punto (3,1)

    Solución

    Un punto de inflexión es un punto donde cambia la curvatura de la función.
    Si x=a es un punto de inflexión → f”(a)=0

    En el problema nos dan 2 datos:

    • f(x) pasa por el punto (3,1), es decir f(3)=1
    • x=3 es un punto de inflexión, es decir, f”(3)=0

    Con esta información, obtenemos b y d
    f(3)=1 → 1=33+b32+2.3+d → 1=27+9b+6+d → 9b+d=-32
    f’(x)=3x2+2bx+2
    f”(x)=6x+2b
    f”(3)=0 → 6.3+2b=0 → 18+2b=0 → 2b=-18 → b=-18/2=-9

    9b+d=-32; 9.(-9)+d=-32; -81+d=-32; d=-32+81; d=49

    Solución: b=-9 y d=49

    Share

    Tags: ,
    Posted in Derivada: aplicaciones, Matemáticas C.C.S.S. 1 | No Comments »

    Extremos relativos. Mínimo

    Friday, February 19th, 2010

    Hallar el valor de a y b para que f(x) = x3 + ax2 + bx + 1 tenga un mínimo en el punto (1,1)

    Solución

    Tenemos 2 parámetros, luego deberemos encontrar 2 ecuaciones que nos permitan hallarlos. Nos dan 2 datos:

    • La función pasa por el punto (1,1)
    • La función tiene un mínimo en x=1 ( un extremo relativo )

    Con estos dos datos sacamos que:
    f(1)=1 y f’(1)=0
    f(1)=13+a.12+b.1+1 = 1
    f’(x)=3x2+2ax+b
    f’(1)=3.12+2a.1+b=0

    1+a+b+1=1
    3+2a+b=0

    a+b=-1
    2a+b=-3

    Resolvemos por reducción:
    -a=2; a=-2 → -2+b=-1; b=1

    Solución: a=-2 y b=1

    Share

    Tags:
    Posted in Derivada: aplicaciones, Matemáticas C.C.S.S. 1 | No Comments »

    Optimización. Rectángulo de área máxima

    Friday, February 19th, 2010

    Hallar las dimensiones de un terreno rectangular cuyo perímetro es 80m si se desea que su área sea máxima.

    Solución

    Para maximizar una función, debemos

    • derivar
    • igualar a cero.

    Para ello, lo primero que tenemos que hacer es encontrar la función y hacer que dependa de una única incógnita.
    La función a maximizar será: A=x.y
    siendo x e y las dimensiones de mi rectángulo
    El perímetro será: P=2x+2y=80
    Despejamos y: 2y=80-2x; y=(80-2x)/2=40-x
    Sustituimos en A:
    A=x.(40-x)=40x-x2
    Derivamos:
    A’=40-2x
    Igualamos a 0:
    A’=0 → 40-2x=0; 40=2x; x=40/2=20m
    Despejamos y=40-20=20m
    Verificamos que se trata de un máximo utilizando la 2ª derivada:
    A”=-2
    A”(x=20)=-2 < 0 → x=20 es un máximo

    Solución: las dimensiones del rectángulo que maximizan el área serán x=y=20m

    Share

    Tags: ,
    Posted in Derivada: aplicaciones, Matemáticas C.C.S.S. 1 | No Comments »

    Tangente a una curva en un punto

    Friday, February 19th, 2010

    Para f(x) = x3-4x+2, calcula la ecuación de la recta tangente en el punto x=1

    Solución

    La recta tangente a una función en un punto x=a es aquella que verifica que tiene la misma pendiente que la función en dicho punto y que pasa por el punto (x=a, f(a)). Su ecuación será: y=mx+n, siendo

    • m=f’(a) ( es decir, tienen la misma pendiente )
    • f(a)=m.a+n ( es decir, la recta pasa por el punto (a,f(a))

    Empezamos por calcular el punto en el que hallar la tangente:
    x=1 → f(1)=13-4.1+2=-1 → el punto es (1,-1)

    • Calculamos la pendiente:

    f’(x)=3x2-4
    m=f’(1)=3.12-4=-1 → y=-1x+n

    • La recta tangente debe pasar por el punto (1,-1)

    -1=-1.1+n → n=0

    Solución: recta tangente en (1,-1) y=-x

    Share

    Tags:
    Posted in Derivada: aplicaciones, Matemáticas C.C.S.S. 1 | No Comments »

    Optimización de funciones

    Friday, February 19th, 2010

    De dos números positivos se sabe que suman 10. Hallad dichos números de manera que la suma de sus cuadrados sea mínima

    Solución

    Como desconocemos cuáles son los números, los llamaremos x e y:
    x+y=10
    La función que quiero minimizar es:
    f=x2+y2
    Para encontrar el máximo o el mínimo de una función debemos:
    1.- Derivar
    2.- Igualar a cero
    pero para poder derivar, solo debe depender de una incógnita así es que utilizamos la primera ecuación para despejar una incógnita y sustituir.
    f=x2+(10-x)2
    f=x2+(100+x2-20x)=2x2-20x+100

    • Derivamos

    f’=4x-20

    • Igualamos a cero

    f’=0; 4x-20=0; 4x=20; x=20/4=5 → y=10-x=10-5=5

    • Ahora demostramos que se trata de un mínimo, utilizando la 2ª derivada:

    f”=4
    f”(x=5)=4>0 → x=5 es un mínimo
    NOTA: si nos hubiera salido que x=5 es unb máximo, deberíamos haber buscado el valor mínimo en los extremos de los valores que puede tomar x, es decir, x=0 o x=10, puesto que los valores máximos y mínimos pueden estar o bien entre los extremos relativos (f’=0) o bien en los extremos del intervalo.

    Solución: x=5 e y=5

    Share

    Tags:
    Posted in Derivada: aplicaciones | No Comments »