El peso de los alumnos de Bachillerato de un colegio se distribuye según la normal de media 60 y de desviación típica 10. Calcula la probabilidad de que, escogido un alumno al azar, su peso se encuentre entre 56 y 67 kg. ¿Qué tiene mayor probabilidad: pesar menos de 56kg o más de 67kg?
La altura media de los habitantes de una ciudad es de 170cm y su desviación típica es de 10cm. Si se elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que su altura esté entre 158cm y 178cm. Representa gráficamente.
La edad de la población que vive en residencias de mayores en la comunidad de Madrid sigue una distribución normal de desviación típica 5 años y media 67. Si en una residencia hay 200 personas, calcula el número de ellos que tendrán:
Se tiene el experimento aleatorio: tirar un dado no trucado.
Se tienen los siguientes sucesos:
A=”que salga par”
B=”que salga impar”
C=”que salga menor que 3”
D=”que salga mayor que 4”
Los posibles resultados serán: S={1,2,3,4,5,6}
Puesto que todos los sucesos son equiprobables, podemos aplicar Laplace:
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6
A={2,4,6}; P(A)=3/6=1/2
B={1,3,5}; P(B)=3/6=1/2
C={1,2}; p(C)=2/6=1/3
D={5,6}; p(D)=2/6=1/3
Calculamos la unión y la intersección de sucesos:
AUB={1,2,3,4,5,6}; p(AUB)=6/6=1
A∩B={Ø}; p(A∩B)=0
Dos sucesos que verifican que AUB=E y A∩B=Ø se dice que son sucesos contrarios. Puesto que la intersección es nula, son también incompatibles.
Podemos resolverlo también de este otro modo y comprobar que se obtienen los mismos resultados:
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B) = 1/2 + 1/2 -0 = 1
AUC={1,2,4,6}; p(AUC)=4/6=2/3
A∩C={2}; p(A∩C)=1/6
AUD={2,4,5,6}; p(AUD)=4/6=2/3
A∩D={6}; p(A∩D)=1/6
BUC={1,2,3,5}; p(BUC)=4/6=2/3
B∩C={1}; p(B∩C)1/6
BUD={1,3,5,6}; p(BUD)=4/6=2/3
B∩D={5}; p(B∩D)=1/6
CUD={1,2,5,6}; p(CUD)=4/6
C∩D={Ø};p(C∩D)=0
Puesto que la intersección es nula, se trata de sucesos incompatibles.
De dos sucesos A y B se sabe que son independientes, que la probabilidad de que ocurra alguno de ellos es 5/6 y que la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es 1/3. Hallar las probabilidades de A y de B.
Que ocurra “alguno” es la operación unión: p(AUB)=5/6
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B)
Que ocurran “ambos” es la operación intersección: p(A∩B)=1/3
Que los sucesos sean independientes implica que: p(A∩B)=p(A).p(B)
Con ambas ecuaciones, hacemos un sistema:
p(AUB)=p(A) + p(B) – p(A∩B); 5/6 = p(A) + p(B) – 1/3
p(A∩B)=p(A).p(B); 1/3=p(A).p(B)
p(A) = 1/3.p(B)
5/6= 1/3p(B) + p(B) – 1/3; 7/6 = 1/3p(B) + p(B)
7p(B) = 2 + 6p(B)2; 6p(B)2 – 7p(B) + 2 = 0
Resolvemos la ecuación de 2º grado:
p(B) = (7 ± 1)/12 ; p(B)=2/3 y p(B) = 1/2
Si p(B)=3/4 –> p(A) = 1/3.(2/3) = 1/2
Si p(B) = 1/2 –> p(A)=1/3.(1/2) = 2/3
Uno de los sucesos tendrá probabilidad 1/2 y el otro 2/3
Una fábrica produce un elemento mecánico ensamblando 2 componentes A y B. Se sabe que la probabilidad de que el componente A sea defectuoso es de 0,001 y la de que B no lo sea es de 0,997. Se elige al azar un elemento. Describe el espacio muestral y calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
La fabricación del elemento mecánico es un suceso compuestos (C), constituido por 2 sucesos simples independientes: A y B
p(C)=p(A).P(B)
Puesto que “defectuoso” + “no defectuoso” = E; p(defectuoso)+p(no defectuoso)=1
Que A no sea defectuoso: p(A)=0,999
Que A sea defectuoso: p(Ad)=0,001
Que B no sea defectuoso: p(B)=0,997
Que B sea defectuoso: p(Bd)=0,003
El espacio muestral del suceso “fabricar un elemento mecánico será”:
E={A∩B, Ad∩Bd, Ad∩B, A∩Bd}
1. “Solo el componente A es defectuoso” –> p(Ad∩B)=p(Ad).p(B)=0,001.0,997=0,000997
2. “Ninguno de los componentes es defectuoso” –> p(A∩B)=p(A).p(B)=0,999.0,997=0,996003
3. “Ambos son defectuosos” –> p(Ad∩Bd)=p(Ad).p(Bd)=0,001.0,003=0,000003
4. “Solo uno de los componentes es defectuoso”={Ad∩B, A∩Bd}
O es defectuoso A o es defectuoso B
p(“Solo uno de los componentes es defectuoso”)=p(Ad∩B) + p(A∩Bd)=p(Ad).p(B) + p(A).p(Bd)=0,001.0,997 + 0,999.0,003 = 0,003
Se lanza un dado de seis caras numeradas del 1 al 6 dos veces consecutivas.
Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que p(A) = 0,6, p(B)=0,2 y p(A’UB’)=0,7.
Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Hacemos 2 extracciones con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de extraer:
Repite los 3 apartados anteriores en el caso de que no hubiera reemplazamiento.
La probabilidad de que Óscar gane a Santiago un partido de tenis es 2/3 y de que empaten, 1/6. Si juegan 4 partidos,
