Ondas armónicas en una cuerda-S2001A1

Aurora Lucas — Sun, 02 May 2010 14:27:22 +0000

La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda tensa orientada según el eje X es: y(x,t) = 0,5.sen(6πt-2πx) ( en unidades del SI ). Determina:
a) Los valores de la longitud de onda y de la velocidad de propagación de la onda.
b) Las expresiones que representan la elongación y la velocidad de vibración en función del tiempo, para un punto de la cuerda situado a una distancia x=1,5m del origen.
c) Los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de vibración de los puntos de la cuerda.
d) La distancia mínima que separa dos puntos de la cuerda, que, en un mismo instante, vibran desfasados 2Π radianes.

Solución

a) Una onda armónica tiene la siguiente expresión matemática genérica: y(x,t) = A.sen(kx±wt)
Si comparamos esta expresión con la que nos da el enunciado del ejercicio:
Lo que acompaña a la x será k: k=2π
Lo que acompaña a la t será w: w=6π

Sabemos que k=2π/λ → λ = 2π/k = 2π/2π → λ = 1m
Sabemos que w=2π/T → T = 2π/w = 2π/6π → T = 1/3 s
v= λ/T → v=1m/(1/3s) = 3m/s → v=3m/s

b) La elongación será: y(x,t) = 0,5.sen(6πt-2πx) m
La velocidad será: v(x,t) = dy(x,t)/dt = 0,5.6π.cos(6πt-2πx) = 3π.cos(6πt-2πx) m/s

Para un punto que se encuentra en x=1,5m
y(1,5m , t)=0,5.sen(6πt – 2π.1,5) = 0,5.sen(6πt – 3π) m
v(1,5m , t)=3π.cos(6πt-2π.1,5) = 3π.cos(6πt-3π) m/s

c) v(x,t) = 3π.cos(6πt-2πx) m/s
v_max → cos(6πt-2πx)=1 → v_max = 3π m/s

a(x,t) = d v(x,t) / dt = – 0,5.(6π)².sen(6πt-2πx) m/s²
a_max → sen(6πt-2πx)=-1 → a_max=0,5.(6π)²= 177,65m/s²

d) Tenemos que estudiar la distancia mínima entre dos puntos, en el mismo instante de tiempo, cuya diferencia de fase es de 2π rad
φ₁ = 6πt – 2π.x₁
φ₂ = 6πt – 2π.x₂

φ₂ – φ₁ = 2π rad
φ₂ – φ₁ = (6πt – 2π.x₂) – (6πt – 2π.x₁) = 2π (x₂-x₁)

2π rad = 2π (x₂-x₁) → x₂-x₁ = 1m

ondas mecánicas- S2000C2

Aurora Lucas — Sun, 02 May 2010 14:24:11 +0000

Uno de los extremos de una cuerda tensa, de 6m de longitud, oscila transversalmente con un movimiento armónico simple de frecuencia 60Hz. Las ondas generadas alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0,5s. Determina:
a) Longitud de onda y nº de onda de las ondas de la cuerda.
b) La diferencia de fase de oscilación existente entre dos puntos de la cuerda separados 10cm.

Solución

Sabemos que un movimiento armónico simple producido en el extremo de una cuerda, produce una onda mecánica armónica que se propaga por la cuerda.
Puesto que la cuerda tiene 6m y la onda llega al otro extremo en un tiempo de 0,5s → v=s/t = 6m/0,5s = 12 m/s

a) velocidad de propagación de la onda: v = 12 m/s
f=60Hz → T = 1/f = 1/60s
v = λ/T → λ = v.T = 12m/s.1/60s = 0,2 m → λ = 0,2m
k = 2π/λ = 2π/0,2m = 10π rad/m

b) La ecuación de la onda armónica será: y(x,t) = A.sen(k.x ± w.t)
Llamamos fase a φ = k.x ± w.t
Tenemos dos puntos de la cuerda que en el mismo instante de tiempo, están separados 10cm, es decir x₂ – x₁ = 10 cm = 0,1m
φ₁ = kx₁ ± w.t
φ₂ = kx₂ ± w.t

φ₂ – φ₁ = (kx₂ ± w.t) – ( kx₁ ± w.t ) = k ( x₂ – x₁)
φ₂ – φ₁ = 10π rad/m·0,1m = π rad

φ₂ – φ₁ = π rad

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Solución

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Solución