a) Una onda armónica tiene la siguiente expresión matemática genérica: y(x,t) = A.sen(kx±wt)
Si comparamos esta expresión con la que nos da el enunciado del ejercicio:
Lo que acompaña a la x será k: k=2π
Lo que acompaña a la t será w: w=6π

Sabemos que k=2π/λ → λ = 2π/k = 2π/2π → λ = 1m
Sabemos que w=2π/T → T = 2π/w = 2π/6π → T = 1/3 s
v= λ/T → v=1m/(1/3s) = 3m/s → v=3m/s

b) La elongación será: y(x,t) = 0,5.sen(6πt-2πx) m
La velocidad será: v(x,t) = dy(x,t)/dt = 0,5.6π.cos(6πt-2πx) = 3π.cos(6πt-2πx) m/s

Para un punto que se encuentra en x=1,5m
y(1,5m , t)=0,5.sen(6πt – 2π.1,5) = 0,5.sen(6πt – 3π) m
v(1,5m , t)=3π.cos(6πt-2π.1,5) = 3π.cos(6πt-3π) m/s

c) v(x,t) = 3π.cos(6πt-2πx) m/s
v_max → cos(6πt-2πx)=1 → v_max = 3π m/s

a(x,t) = d v(x,t) / dt = – 0,5.(6π)².sen(6πt-2πx) m/s²
a_max → sen(6πt-2πx)=-1 → a_max=0,5.(6π)²= 177,65m/s²

d) Tenemos que estudiar la distancia mínima entre dos puntos, en el mismo instante de tiempo, cuya diferencia de fase es de 2π rad
φ₁ = 6πt – 2π.x₁
φ₂ = 6πt – 2π.x₂

φ₂ – φ₁ = 2π rad
φ₂ – φ₁ = (6πt – 2π.x₂) – (6πt – 2π.x₁) = 2π (x₂-x₁)

2π rad = 2π (x₂-x₁) → x₂-x₁ = 1m

Sabemos que un movimiento armónico simple producido en el extremo de una cuerda, produce una onda mecánica armónica que se propaga por la cuerda.
Puesto que la cuerda tiene 6m y la onda llega al otro extremo en un tiempo de 0,5s → v=s/t = 6m/0,5s = 12 m/s

a) velocidad de propagación de la onda: v = 12 m/s
f=60Hz → T = 1/f = 1/60s
v = λ/T → λ = v.T = 12m/s.1/60s = 0,2 m → λ = 0,2m
k = 2π/λ = 2π/0,2m = 10π rad/m

b) La ecuación de la onda armónica será: y(x,t) = A.sen(k.x ± w.t)
Llamamos fase a φ = k.x ± w.t
Tenemos dos puntos de la cuerda que en el mismo instante de tiempo, están separados 10cm, es decir x₂ – x₁ = 10 cm = 0,1m
φ₁ = kx₁ ± w.t
φ₂ = kx₂ ± w.t

φ₂ – φ₁ = (kx₂ ± w.t) – ( kx₁ ± w.t ) = k ( x₂ – x₁)
φ₂ – φ₁ = 10π rad/m·0,1m = π rad

φ₂ – φ₁ = π rad