Una masa puntual de valor 150g unida a un muelle horizontal de constante elástica k=65N/m constituye un oscilador armónico simple. Si la amplitud del movimiento es de 5cm. Determina:
a) La expresión de la velocidad de oscilación de la masa en función de la elongación
b) La energía potencial elástica del sistema cuando la velocidad de oscilación es nula.
c) La energía cinética del sistema cuando la velocidad de oscilación es máxima
d) La energía cinética y la energía potencial elástica del sistema cuando el módulo de la aceleración de la masa es igual a 13m/s²

Solución:

a) Podemos resolver este apartado tanto por cinemática como por energías.

Por cinemática:
w = (k/m)^1/2 = (65/0,15)^1/2 = 20,82 rad/s
x(t) = A. cos(wt + δ) = 0,05.cos(20,82t + δ) (m)
v(t) = dx(t)/dt = -0,05.20,82.sen(20,82t + δ) = -1,04.sen(20,82t + δ)

Vamos a despejar el cos en x(t) y el sen en v(t) y luego, elevamos al cuadrado y sumamos:
cos(20,82t + δ)= x(t)/0,05
sen(20,82t + δ)=v(t)/-1,04
[cos(20,82t + δ)]² + [sen(20,82t + δ)]² = (x/0,05)² + (v(t)/-1,04)²
Aplicando la ecuación fundemental de la trigonometría:
1=(x/0,05)² + (v(t)/-1,04)²
1 – (x/0,05)² = (v(t)/-1,04)²
[1 - (x/0,05)²]^1/2.1,04 = v(t)

Por energías:
La fuerza restauradora es una fuerza conservativa, y por lo tanto, la energía mecánica se conserva. Emec=Ec + Ep = cte →Emec = KA²/2
Ec=m.v²/2
Ep=Kx²/2
KA²/2 = m.v²/2 + Kx²/2 → KA²/2 – Kx²/2 = m.v²/2; K(A²-x²)=mv²; v = [K/m.(A²-x²)]^1/2=w.[(A²-x²)]^1/2

Esta expresión es una expresión general que podemos utilizar siempre que sea necesario y válida para cualquier oscilador armónico.
En este caso particular:
v(t)=20,82.[(0,05²-x²)]^1/2(m/s)

b) Si v=0, no hay energía cinética y por lo tanto, toda la energía del sistema (Emec) será energía potencial: Ep=Emec=KA²/2=65.(0,05)²/2=8,12.10^-2J

c) Si V=Vmax, será porque nos encontramos en el punto de equilibrio (x=0) y por lo tanto, toda la energía (Emec) será cinética: Ec=Emec=8,12.10^-2J

d) a=13m/s²

a(t)=dv(t)/dt = -Aw².cos(wt+δ) = -w².x(t) → 13 = (20,82)².x(t); x(t) = 0,03m
Ep=Kx²/2 = 65(0,03)²/2 = 0,02J
Emec=Ec+Ep; Ec=Emec-Ep = 8,12.10^-2J – 0,02 = 0,06 J

Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable y una masa en el extremo de valor 40g tiene un periodo de oscilación de 2s.
a) ¿Cuál debe ser la masa de un segundo oscilador construido con un muelle idéntico al primero para que la frecuencia de oscilación se duplique?
b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 10cm, ¿cuánto vale, en cada caso, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad alcanzada por su masa?

Solución:

a) Si el muelle es idéntico, eso quiere decir que tiene la misma k, puesto que k es una propiedad que depende de las características del muelle y no de la masa que de él se cuelgue.

Para el primer oscilador:
m₁=40g = 0,04kg
T₁=2s → w₁=2Π/T; w₁=Πrad/s
w₁=√k/m₁; k=w₁².m₁

Para el segundo oscilador:
k=w₂².m₂
w₂ = 2 w₁

Puesto que k tiene que ser la misma: w₁².m₁=w₂².m₂; w₁².m₁=(2w₁)².m₂; m₁=4m₂;

m₂=m₁/4 = 0,01kg

b) Un oscilador armónico es un sistema conservativo, de modo que Emec=Ec+Ep=cte

Ep(max)=Emec = kA²/2

Puesto que k y A son las mismas para los dos osciladores, Ep(max) también será la misma.
k=w₁².m₁=0,39N/m
Ep(max)=kA²/2=0,39.0,1²/2 = 1,95.10^-3J

Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1Hz y una amplitud de 5cm. Cuando se añade otra masa de 300g, la frecuencia de oscilación es de 0,5Hz. Determina:
a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte.
b) El valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma en ambos casos.

Una masa de 2kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es k=10N/m. El muelle se comprime 5cm desde la posición de equilibrio ( x=0 ) y se deja en libertad. Determina:
a) La expresión de la posición y la masa en función del tiempo, x = x(t)
b) Los módulos de la velocidad y la aceleración de la masa en un punto situado a 2cm de la posición de equilibrio.
c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria.
d) La energía mecánica del sistema oscilante.
Nota: considera que los desplazamientos respecto de la posición de equilibrio son positivos cuando el muelle está estirado.

Un muelle cuya constante de elasticidad es k está unido a una masa puntual de valor m. Separando la masa de la posición de equilibrio el sistema comienza a oscilar. Determina:
a) El valor del periodo de las oscilaciones y su frecuencia w ( en función k y m )
b) Las expresiones de las energías cinética, potencial y total en función de la amplitud y de la elongación del movimiento del sistema oscilante.

Un punto material está animado de un movimiento armónico simple a lo largo del eje x alrededor de su posición de equilibrio en x=0. En el instante t=0, el punto material está situado en x=0 y se desplaza en el sentido negativo del eje x con una velocidad de 40cm/s. La frecuencia del movimiento es de 5Hz.
a) Determina la posición en función del tiempo
b) Calcula la posición y la velocidad en el instante t=5s