Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la superficie de la Luna es un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y que el radio de la Luna es aproximadamente 0,27Rt ( siendo Rt el radio de la Tierra ), calcula:
a) la relación entre las densidades medias: ρ_Luna/ρ_Tierra
b) la relación entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas superficies: Ve_Luna/Ve_Tierra

Solución:

a) La densidad se define como ρ=M/V
Para un cuerpo esférico V= 4ΠR³/3

Tenemos R_Luna. Nos falta M_Luna en función de los datos de la Tierra. La obtenemos a partir del dato de la gravedad que nos dan en el enunciado.

g_Luna=g_Tierra/6 → GM_Luna/R_Luna² = GM_Tierra/6.R_Tierra² → M_Luna/(0,27.R_Tierra)² = M_Tierra/6.R_Tierra² → M_Luna=[(0,27)²/6]M_Tierra= 1,22.10^-2.M_Tierra

ρ_Luna/ρ_Tierra = [M_Luna/(4ΠR_Luna³/3)] / [M_Tierra/(4ΠR_Tierra³/3)] = (M_Luna. R_Tierra³) / (M_Tierra. R_Luna³) = (1,22.10^-2.M_Tierra. R_Tierra³) / (M_Tierra. (0,27.R_Luna)³) = 1,22.10^-2/0,27³ = 0,62
ρ_Luna/ρ_Tierra = 0,62

b) Se define la velocidad de escape como la velocidad que hay que aportar un cuerpo para que escape del campo gravitatorio en el que se encuentra, es decir, para llevarlo hasta infinito, con energenía total 0. Aplicando el principio de conservación de la energía:

Einicial + m(Vescape)²/2 = Efinal = 0

Einicial = Ec(inicial) + Ep(inicial) → Sobre la superficie terrestre Ec=0 → Einicial = -GMm/R

-GMm/R + m(Vescape)²/2 = 0 → GMm/R = m(Vescape)²/2 → Vescape = (2GM/R)^1/2

Ve_Luna/Ve_Tierra = (2GM_Luna/R_Luna)^1/2/(2GM_Tierra/R_Tierra)^1/2= (M_Tierra.R_Luna/R_Tierra.M_Luna)^1/2=(M_Tierra.0,27.R_Tierra/R_Tierra.1,22.10^-2.M_Tierra)^1/2=(1,22.10^-2/0,27)^1/2=0,21

Ve_Luna/Ve_Tierra =0,21

Una sonda de masa 5000kg se encuentra en una órbita circular a una altura sobre la superficie terrestre de 1,5R_T. Determina:
a) Momento angular de la sonda en esa órbita con respecto al centro de la Tierra.
b) Energía que hay que comunicar a la sonda para que escape del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita.
Datos: M_t=5,98.10²⁴kg; R_t=6,37.10⁶m; G=6,67.10^-11N.m²/kg²

Solución:

a) Puesto que se trata de una órbita circular producida por la fuerza gravitatoria, se debe cumplir que la fuerza de Newton sea igual a una fuerza normal que es la que se produce en el M.C.U.: GMm/R²=mv²/R → v=(GM/R)^1/2=5004,65m/s

R=Rt+h=Rt+1,5Rt=2,5Rt

Nos piden calcular el módulo del momento angular: L= mvxR

|L|=mvR.sen90=mvR=3,98.10²⁴ kg.m²/s

b) Escapar del campo gravitatorio significa llevarlo hasta el infinito, donde la E=0. Aplicando el principio de conservación de la energía: Einicial + Eescape = Efinal = 0

Einicial = Ec(inicial) + Ep(inicial)

Como se trata de una órbita circular: Einicial = Ep(inicial)/2 = -GMm/2R= -6,26.10¹⁰ J

Eescape=-Einicial = 6,26.10¹⁰ J

a) ¿Qué condición debe cumplir un campo de fuerzas para ser conservativo?
b) Ponga un ejemplo de campo de fuerzas conservativo y demuestre que se cumple la citada condición

Solución:

b) Tanto el campo gravitatorio como el eléctrico son campos conservativos puesto que el trabajo se puede expresar como diferencia de la función “potencial” en dos puntos dados: el de inicio y el de fin.

En el caso del campo eléctrico, por ejemplo.
F = KqQ/r²
W = ∫F.dr = ∫KqQ/r²dr = (KqQ/r_i) – (KqQ/r_f) = – ΔEp
siendo Ep = -KqQ/r

Se pone en órbita un satélite artificial de 600kg a una altura de 1200km sobre la superficie de la Tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcula:
a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite
b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita
Datos: G=6,67·10^-11Nm²/kg²; Mt=5,98·10²⁴kg; Rt=6,37·10⁶m

Solución:

a) En un campo gravitatorio, la Ep=-G·Mt·m/R, siendo R el radio de la órbita descrita por el satélite.
En la superficie de la Tierra y a nivel del mar: Ep_i=-GMtm/Rt
En la órbita del satélite: Ep_f=-GMtm/R, siendo R=Rt+h=6,37·10⁶ + 1200·10³ = 7,57·10⁶m
ΔEp = Ep_f – Ep_i = -GMtm/R – (-GMtm/Rt) = GMtm(1/Rt – 1/R) = 5,96·10⁹J

b)Aplicamos el principio de conservación de la Energía mecánica, sabiendo que cuando el satélite escapa a la acción del campo, su Ep=0. Si queremos que llegue a ese punto con Ec=0 entonces E + Ep = 0, siendo E la energía que tenemos que suministrar: E = -Ep = GMtm/R = 3,16·10¹⁰J

Un proyectil de masa 10kg se dispara verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidad de 3200m/s:
a) ¿Cuál es la máxima energía potencial que adquiere?
b) ¿En qué posición se alcanza?
Datos: g = 9,8 m/s²; Rt = 6,37·10⁶ m

Solución:

a) Aplicamos el principio de conservación de la Energía Mecánica por encontrarse el proyectil en el campo gravitatorio terrestre, que es un campo conservativo:

Ep_i = -GM_Tm/Rt
Ec_i = m·v²/2
Ec_f = 0

Debemos resolver el problema con los datos que nos dan:
g = GMt/Rt² → GMt = g.Rt² = 3,98·10¹⁴ (SI)
Ep_f = – 3.98·10¹⁴·10/6,37·10⁶ + 10·3200²/2 = -5,74·10⁸J

b) Para calcular a qué distancia del centro de la Tierra se alcanza dicha energía potencial:
Ep = – G·Mt·m/R –> R = – G·Mt·m/Ep = 6,93·10⁶m

Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 6,99·10¹⁰m y su velocidad orbital 3,88·10⁴m/s, siendo su distancia al Sol en el perihelio de 4,60·10¹⁰m.
a) Calcula la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio
b) Calcula la energía cinética, mecánica y potencial de Mercurio en el perihelio
c) Calcula el módulo de su momento lineal y de su momento angular en el perihelio.
d) De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuáles son iguales que en el afelio.
Datos:
        M_M=3,18·10²³ kg
        M_Sol= 1,99·10³⁰kg
        G = 6,67·10^-11 Nm²/kg²

Solución:

terrestre y en el sentido de rotación de la Tierra. Si se quiere que el satélite pase periódicamente sobre un punto del Ecuador cada dos días, calcule:
a) La altura sobre la superficie terrestre a la que hay que colocar el satélite.
b) La relación entre la energía que hay que comunicar a dicho satélite desde el momento de su lanzamiento en la superficie terrestre para colocarlo en esa órbita y la energía mínima de escape en dicha órbita.

Datos: G = 6,67·10^-11 Nm²/kg²
R_T = 6370km
M_T = 5,98·10^-24kg

Solución:

a)
Si cada dos días debe pasar por el mismo punto del Ecuador, es porque su periodo es T=2días = 48horas = 172800s
w = 2(π)/T = 3,64·10^-5rad/s
Por ser una órbita circular sabemos que se verifica que: m·w²·R=GM_Tm/R² → R³ = GM_T/w² →
R = 6,70·10⁷m = 67000km
La altura sobre la tierra será: h = R – R_T = 67000-6370=60630km → h = 60630km

b) Por estar en el campo gravitatorio terrestre, sabemos que la E_mec se conserva
E_mec = Ec_i + Ep_i = Ec_f + Ep_f 

En la superficie terrestre: Ec_i = 0; Ep_i = -GM_Tm/R_T
La energía que hay que comunicar para ponerlo en órbita será el trabajo realizado en contra del campo: W = AEp = Ep_f – Ep_i = -GM_Tm (1/R – 1/R_T)
La energía mínima de escape desde la superficie terrestre será la energía necesaria para hacerlo escapar de la atracción de la Tierra, es decir, llevarlo hasta oo, donde su Ep será 0.
E_escape = GM_Tm/R_T

La relación entre ambas: E_{para ponerlo en órbita}/E_escape = GM_Tm (1/R_T – 1/R)/GM_Tm/R_T = (1/R_T – 1/R)/(1/R_T) = 1 – R_T/R

Un planeta esférico tiene un radio de 3000km y la aceleración de la gravedad en su superficie es de 6m/s².
a) ¿Cuál es su densidad media?
b) ¿Cuál es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie de este planeta?
Datos: G = 6’67.10^-11 N.m²/kg²

a) Deduzca la expresión de la energía cinética de un satélite en órbita circular alrededor de un planeta en función del radio de la órbita y de las masas del satélite y del planeta.
b) Demuestra que la energía mecánica del satélite es la mitad de su energía potencial.