Define qué son fuerzas conservativas y demuestra que la fuerza de Coulomb lo es.

Solución:

Se dice que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un cuerpo depende solo del valor que toma una cierta función Energía potencial en el punto inicial y en el punto final del desplazamiento, es decir, el trabajo no depende de la trayectoria seguida. Como consecuencia de esto, la energía mecánica de un cuerpo sometido a una fuerza conservativa permanece constante. Y el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada será 0.

Demostración para la fuerza de Coulomb. F=KQq/R²Ur.
Para cualquier fuerza: W=∫_i^fF. dr = ∫_i^fm.a. dr = ∫_i^fm.dv/dt. dr = ∫_i^fm.v. dv = mv²/2 | _i^f= Ec(final) – Ec(inicial) = ΔEc

Para la fuerza de Coulomb: W=∫_i^fF. dr =W=∫_i^fKQq/R². dr = -KQq/R | _i^f =-KQq/Rf-(-KQq/Ri)

Si definimos Ep=KQq/R → W=Ep(inicial) – Ep(final)=-ΔEp

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Una carga positiva de 2μC se encuentra situada inmóvil en el origen de coordenadas. Un protón moviéndose por el semieje positivo de las X se dirige hacia el origen de coordenadas. Cuando el protón se encuentra en el punto A, a una distancia del origen de x=10m lleva una velocidad de 1000m/s. Calcula:

a) El campo eléctrico que crea la carga situada en el origen de coordenadas en el punto A.
b) El potencial y la energía potencial del protón en el punto A
c) La energía cinética del protón en el punto A
d) El cambio de momento lineal experimentado por el protón desde que parte de A y por efecto de la repulsión vuelve al mismo punto A

Datos: K=9.10⁹Nm²/C²; m_p=1,67.10^-27kg; q_p=1,6.10^-19C

Solución:

a) El campo eléctrico creado por la carga puntual de 2μC en el punto A vendrá dada por la ley de Coulomb:

E=KQ/R²=9.10⁹.2.10^-6/10²=180N/C

Como se trata de una carga positiva, creará un campo hacia afuera, de modo que la dirección y el sentido del campo será: E=(180,0)N/C

b) V=KQ/R=9.10⁹.2.10^-6/10=1800V

Ep=V.q_p=1800V.1,6.10^-19C=2,8810^-16J

c) La energía cinética es la que tiene un cuerpo debido a su velocidad:

Ec=m.v²/2 = 1,67.10^-27.1000²/2=8,3510^-22J

d) El momento lineal es un vector que se define como: p=m.v. Tiene la dirección y el sentido del vector velocidad.

En el momento inicial, cuando se mueve hacia el origen de coordenadas, su velocidad es v=(-1000,0)m/s y por lo tanto, su p(inicial)=(-1,6710^-24,0)kg.m/s.

Por el efecto de la repulsión de la carga que hay en (0,0), el protón se moverá hacia el origen, cada vez más despacio, hasta que se detiene y empieza a moverse en sentido contrario, es decir, en el sentido positivo del eje de las x. Puesto que la única fuerza que actúa es la fuerza de Coulomb que es conservativa, se verificará que: ΔEc=-ΔEp.

Puesto que el punto inicial y el final es el mismo: -ΔEp=0 y por lo tanto ΔEc=0, es decir, llevará la misma velocidad en módulo y dirección, pero de sentido contrario:

Vfinal=(+1000,0)m/s → p(final)=(+1,6710^-24,0)kg.m/s.

La variación de momento lineal será: Δp=p(final)-p(inicial)=(+1,6710^-24,0)-(-1,6710^-24,0)=(+3,3410^-24,0)kg.m/s

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Un protón se encuentra situado en el origen de coordenadas del plano XY. Un electrón, inicialmente en reposo, está situado en el punto (2,0). Por efecto del campo eléctrico creado por el protón (supuesto inmóvil), el electrón se acelera. Estando todas las coordenadas expresadas en µm, calcula:
a) El campo eléctrico y el potencial creado por el protón en el punto (2,0)
b) La energía cinética del electrón cuando se encuentra en el punto (1,0)
c) La velocidad y el momento lineal del electrón en la posición (1,0)
d) La longitud de onda de De Broglie asociada al electrón en el punto (1,0)
Datos: K=9·10⁹Nm²/C²; e=1,6·10^-19C; m_e= 9,1·10^-31kg; h=6,63·10^-34J·s

Nota: el apartado d) corresponde al tema de física cuántica

Solución:

a)

Ο ———+———+→ E

El E creado por un protón es siempre hacia fuera, es decir, una fuente, de modo que en el punto (2,0), el campo tendrá el sentido positivo del eje de las x: E=Kq/R²; E=9.10⁹.1,6.10^-19/(2.10^-6)²=3,6.10²N/C → E = 3,6.10²N/C i

El V creado por un protón será positivo, puesto que se trata de una carga positiva: V=Kq/R=9.10⁹.1,6.10^-19/2.10^-6=7,2.10^-4 V

b) El electrón se moverá del punto (2,0) al punto (1,0) sometido a la acción del campo conservativo creado por el protón, de modo que:

-ΔEp=ΔEc →

Ep(2,0)=kq(-e)/R₂=9.10⁹.1,6.10^-19.(-1,6.10^-19)/2.10^-6
Ep(2,0)=kq(-e)/R₁=9.10⁹.1,6.10^-19.(-1,6.10^-19)/10^-6
-ΔEp=Ep(2,0)-Ep(2,0)=1,15.10^-22J

ΔEc=Ec(1,0)-Ec(2,0)=Ec(1,0)=1,15.10^-22J

c)Ec=mv²/2 → 1,15.10^-22J=9.1.10^-31.v²/2 → v=1,6.10³m/s
p = mv = 9.1.10^-31.1,6.10³=1,46.10^-26kg.m/s

d) λ = h/p = 6,63.10^-34/1,46.10-26=4,59.10^-8m

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Los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo equilátero de 2m de lado. Dos cargas iguales positivas de 2mC están en A y B.
a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el punto C?
b) ¿Cuál es el potencial en el punto C?
c) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5mC desde el infinito hasta el punto C si se mantienen fijas las otras cargas?
d) Responder al apartado anterior si la carga situada en B se sustituye por una carga de -2mC
Datos: ε_o = 8,85·10^-12 C²/Nm²

Solución

a) Aplicamos el principio de superposición: E_c= E_A + E_B

Hemos de tener en cuenta el caracter vectorial del campo
E_A tiene la dirección marcada en la figura y como vemos su componente en el eje X y la de E_B se anulan, por tratarse de cargas iguales y a distancias iguales, luego el campo total será:
E_c= (K·2·10^-3/2²)·sen60º + (K·2·10^-3/2²)·sen60º

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Dos partículas cargadas con +2Q y -Q C, respectivamente, están separadas entre sí una distancia d. Determina un punto del espacio en el que el campo eléctrico sea nulo y justifica la respuesta.

Solución

Debemos aplicar el principio de superposición.
El punto en el que el campo se hace nulo deberá estar en la línea que une ambas cargas ( vamos a hacer coincidir dicha línea con el eje x) y podrá estar o bien entre las cargas o bien a los lados de alguna de ellas.

+2Q es una carga positiva y por lo tanto será una fuente. -Q es una carga negativa y por lo tanto será un sumidero
← +2Q →  → -Q ←
Como vemos, el punto que nos piden no puede encontrarse entre ambas cargas puesto que entre las cargas, los campos creados tienen el mismo sentido y se refuerzan.

Por ser |+2Q| > |-Q|, el punto que nos piden deberá estar a la derecha de la carga -Q y suponemos que a una distancia x de ella.

E_x = E_+2Q + E_-Q
E_+2Q = K·2Q/(d+x)²u_x
E_-Q = -K·Q/(x)²u_x

Solución: E_x = K·Q ( 2/(d+x)² – 1/x²) u_x

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Dos cargas eléctricas puntuales de valor 2mC y -2mC, se encuentran situadas en el plano XY, en los puntos (0,3) y (0,-3) respectivamente, estando las distancias expresadas en m.
a) ¿Cuáles son los valores de la intensidad de campo en el punto (0,6) y en el punto (4,0)?
b) ¿Cuál es el trabajo realizado por el campo sobre un protón cuando se desplaza desde el punto (0,6) hasta el punto (4,0)?
Datos: e=1,6.10^-19C; ε₀=8,85.10^-12 C²/N.m²

Solución:

a) En ambos casos hemos de aplicar el principio de superposición: el campo será la suma de los campos creados por la carga de 2mC y de -2mC en cada uno de los puntos:

k=1/4πε₀=9.10⁹

E(0,6)=k.2.10^-3/3²j – k.2.10^-3/9²j = 1,78.10⁶j N/C

El E(4,0) tendrá también sólo componente en el eje Y, puesto que por la simetría del problema, la componente X de los campos creados por las cargas de 2mC y -2mC se anula.

d²=3²+4²=25m²

α = arctg(3/4)= 36,87º
E(2mC) = E(-2mC) = K.2.10^-3/d² = 7,2.10⁵ N/C
E(2mC)_y=E(-2mC)_y= -7,2.10⁵.sen(36,87)=-4,32.10⁵N/C

E(4,0)=2.E(2mC)_y=-8,64.10⁵ j N/C

B) Puesto que el campo electrostático es conservativo, podemos decir que W=-ΔEp=Ep(0,6)-Ep(4,0)

Aplicamos el principio de superposición:

Ep(0,6)=Ep(2mC) + Ep(-2mC) = k.2.10^-3.1,6.10^-19/3 + k.(-2.10^-3).1,6.10^-19/9 = 6,4.10^-13 J

Ep(4,0)=Ep(2mC) + Ep(-2mC) = k.2.10^-3.1,6.10^-19/5 + k.(-2.10^-3).1,6.10^-19/5 = 0 J

W=-ΔEp=Ep(0,6)-Ep(4,0)=6,4.10^-13 J

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Dos cargas Q₁ y Q₂ de -2µC y 2µC, respectivamente, están situadas en un plano cuyas coordenadas son (-2,0) y (2,0), respectivamene. Calcula la fuerza ejercida por estas dos cargas sobre otra carga Q₃ de -3µC, de coordenadas (0,4)

Solución

Tenemos que aplicar el principio de superposición
F₃ = F₁ + F₂

F₁ = K·Q₁·Q₃/d² = 9.10⁹.2.10^-6.3.10^-6/20 = 2,7·10^-3 N
d = ( 2² + 4² )^1/2 = √20
β = arctg (4/2) = 63,4º
F₁ = 2,7·10^-3 ( cosβu_x + senβu_y)

F₂ = K·Q₂·Q₃/d² = 9.10⁹.2.10^-6.3.10^-6/20 = 2,7·10^-3 N
F₁ = 2,7·10^-3 ( cosβu_x – senβu_y)

F₃ = F₁ + F₂ = 2·2,7·10^-3·cos(63,4) = 2,42.10^-3 u_x N

Solución: F₃ = 2,42.10^-3 u_x N

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Se tienen dos cargas puntuales sobre el eje X, q₁ = -0,2µC está situada a la derecha del orgien y dista de él 1m; q₂ = 0,4µC está a la izquierda del origen y dista de él 2 m.
a) ¿En qué puntos del eje X el potencial creado por ambas cargas es nulo?
b) Si se coloca en el origen una carga de q₃ = 0,4µC, determine la fuerza ejercida sobre ellas por las otras dos cargas.
Datos: K=9.10⁹ N.m²/C²

Solución:

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Tres partículas cargadas Q₁=+2µC, Q₂=+2µC y Q₃ de valor desconocido estan situadas en el plano XY. Las coordenadas de los puntos en los que se encuentran las cargas son Q₁: (1,0), Q₂: (-1,0) y Q₃: (0,2). Si todas las coordenadas están expresadas en metros:
a) ¿Qué valor debe tener la carga Q₃ para que una carga situada en el punto (0,1) no experimiente ninguna fuerza neta?
b) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctrico resultante en el punto (0,1) debido a las cargas Q₁, Q₂ y Q₃?

Datos: K=9.10⁹Nm²/C²

Solución:

a) Para que el campo en (0,1) sea0 hemos de aplicar el principio de superposición de manera que la suma de los campos creados por las dos primeras cargas se anule con el que crea el de la tercera carga.

Por la simetría del problema, el campo creado por Q1 y Q2 solo tendrá componente Y positiva, puesto que las componentes en el eje X se anulan.

E(Q1,Q2)= 2.(K.Q/r²).sen45 j=1,27.10⁴N/Cj

Q3 debe crear un campo que compense el creado por Q1 y Q2, de modo que

E(Q3)= -1,27.10⁴N/Cj

Para que eso sea posible, Q3 debe ser una carga positiva, de modo que cree un campo hacia afuera.

k.Q3/1=1,27.10⁴ → Q3=1,41μC

b) Aplicamos el principio de superposición:

V=V1+V2+V3

V1=V2=k.Q/R=9.10⁹.2.10^-6/√2=1,27.10⁴V
V3=K.Q3/R3=9.10⁹.1,27.10^-6/1=1,27.10⁴V
V(0,1) = 3.1,27.10⁴V=3,81.10⁴V

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Una carga puntual de valor Q ocupa la posición (0,0) del plano XY en el vacío. En un punto A del eje X el potencial es V=-120V y el campo eléctrico E=-80iN/C, siendo i el vector unitario en el sentido positivo del eje X. Si las coordenadas están dadas en metros, calcula:
a) La posición del punto A y el valor de Q
b) El trabajo necesario para llevar un electrón desde el punto B (2,2) hasta el punto A.
Datos: e=1,6.10^-19C, K=9.10⁹N/m².C²

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