Sea el plano inclinado de la figura. Si el coeficiente de rozamiento  entre el bloque de 8kg y el suelo es de 0,05, calcula hacia dónde se mueve el sistema y con qué aceleración.

¿Qué velocidad llevará el bloque de 6kg cuando se haya desplazado 3m?

Solución:

Lo primero que debemos hacer es suponer un sentido para el movimiento del sistema y dibujar las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas en sus respectivos sistemas de referencia.

A continuación, descomponemos las fuerzas en los ejes y vemos qué ocurre en cada eje:

m=8kg
eje x: Froz + Px – T = -8a; N.μ + m.g.sen35 – T = -8a; 48,18 – T = -8a
eje y: N – Py = 0; N=Py = m.g.cos35 = 8.9,8.cos35 = 64,22N

m=6kg
eje y: T- P = -ma; T- 6.9,8 = -6a; T- 58,8 = -6a

48,18 – T = -8a
T- 58,8 = -6a

a= 0,76 m/s²; Puesto que la aceleración es positiva, hemos supuesto bien el sentido del movimiento. El sistema se mueve hacia la masa de 6kg con una aceleración de a= 0,76 m/s².

b) Aplicamos el teorema de las fuerzas vivas: ΔEc=W(F)

Ec(final)-Ec(inicial) = m.a.3; mv²/2 = m.0,76.3; v=2,14m/s

NOTA: Este mismo apartado puede resolverse también por cinemática, considerando que la masa describe un MRUA.

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Una atracción tiene la forma que se plantea en la figura anexa. Se deja caer un coche desde arriba y sin rozamiento. Cuando llega al suelo, el coche recorre una longitud horizontal de 12m hasta detenerse. Calcula el coeficiente de rozamiento del tramo horizontal.
¿Qué aplicas en el primer tramo del  movimiento?¿Por qué puedes aplicarlo?

Solución:

Hay dos tramos en este movimiento. En el primero, no hay fuerza de rozamiento, y por lo tanto, la única fuerza que actúa es el peso, que es una fuerza conservativa, lo cual significa que la energía mecánica permanece constante y que lo único que ocurre es que la energía potencial inicial se va a transformar en energía cinética.

En el segundo tramo, hay fuerza de rozamiento, que es la causante de que el móvil se detenga. Lo que aplicaremos será el teorema de las fuerzas vivas: ΔEc=W(Froz).

En el primer tramo: Emec(inicial)=Emec(final); Ep(inicial)=Ec(final); m.g.50=m.v²/2; v=31,30m/s

En el segundo tramo: Ec(final) – Ec(inicial) = Froz. 12.cos180; 0 – m.(31,30)²/2 = -N.μ.12

m.(31,30)²/2 = m.g.μ.12; μ = (31,30)²/(2.9,8.12) = 4,17

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En una montaña rusa, el cochecito, parte de una altura de 65m. Si no hay rozamiento, calcula la velocidad que llevará cuando se encuentra a una altura de 25m. Una vez que llega al suelo hay un tramo horizontal de vía, de manera que el coche se frena en 15m. Utilizando solo consideraciones energéticas, calcula la fuerza de frenado. Dato: masa=200kg; g=9,8m/s²

Solución:

Hay dos tramos en el movimiento: uno en el que no hay rozamiento y solo actúa la fuerza peso que es conservativa, por lo tanto Emecánica=cte y otro en el que sí que hay rozamiento, que será el que produzca el frenado.

Para el primer tramo: Emec=cte; Ec(inicial) + Ep(inicial) = Ec(final) + Ep(final)

0 + m.g.65 = mv²/2 + m.g.25; g(65-25)=v²/2; v=28m/s

En el segundo tramo sí hay rozamiento y por lo tanto, lo que tendremos que aplicar es:

W_Froz = ΔEc; teorema de las fuerzas vivas

Froz.Δr.cos180=Ec(final)-Ec(inicial)

Cuando el cochecito llega al suelo su Ec=mg65 ( toda la energía potencial inicial se ha transformado en energía cinética )

Froz.15.(-1)=0-mg65; Froz=mg65/15; Froz=8493,33N

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De lo alto de un plano inclinado 30º con la horizontal, de 20m de largo, cae, partiendo del reposo, una masa de 3kg, presentando un rozamiento con el plano de 0,2. Determinar:
a) Energía potencial inicial
b) Energía disapada por rozamiento
c) Energía cinética en la base del plano

Solución:

a)La Ep inicial es debida a la altura a la que se encuentra el objeto. Puesto que se trata de un plano inclinado y aplicando razones trigonométricas: sen30 = h/20, h=20.sen30 = 10m
Ep(inicial)=m.g.h=3.9,8.10=294J

b) El rozamiento es una fuerza disipativa, de modo que lo que hará será quitar energía al cuerpo, hará un trabajo negativo:
W=F.Δr= Froz.Δr.cos180º
Froz=N.μ
N=Py=mg.cos30=3.9,8.cos30=25,46N
Froz=25,46.0,2=5,09N
W=5,09.20.(-1)=-101,84J
Puesto que es trabajo negativo, es energía disipada, perdida por el cuerpo.

c) Aplicamos el principio de conservación de la energía:
Einicial = Efinal + |Wdisipado|
Einicial=Eci+Epi=0 + mgh=3.9,8.10=294J
Efinal=Ecf + Epf= Ecf + 0
294 = Ecf + 101,84 → Ecf=294 – 101,84 = 192,16J

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De lo alto de una torre de 120m de altura se lanza hacia arriba, con una velocidad de 30m/s una masa de 500g. Determinar a qué altura se encuentra cuando su energía cinética tiene el mismo valor que su energía potencial

Solución

Puesto que la única fuerza que actúa es el peso, la Emec se va a mantener constante a lo largo de todo el movimiento, ya que se trata de una fuerza conservativa

Emecánica inicial = Epi + Eci= mgh + mv²/2 = 0,5.9,8.120 + 0,5.(30)²/2 = 813J

Quiero encontrar el punto en el que Ep=Ec=E

Emecánica=813 = Ec + Ep = 2E → E=406,5J → mgh=406,5; h = 406,5/(0,5.9,8) = 82,96m

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Una masa de 2kg comprime un muelle una longitud de 32cm. Al liberar el sistema el muelle se estira a su longitud natural y la masa sale despedida con una velocidad de 15m/s. Determinar el valor de la constante elástica del muelle.

Solución

La fuerza elástica es una fuerza conservativa y por lo tanto, la energía mecánica del sistema se va a mantener constante.

Inicialmente, cuando el muelle está comprimido 32cm=0,32m, solo tendremos energía potencial elástica = k.x²/2 = k.(0,32)²/2

Toda esta energía se transforma en energía cinética = m.v²/2 = 2(15)²/2 = 225J

Puesto que la energía mecánica tiene que ser constante:

k.(0,32)²/2 = 225J → k = 4394,53N/m

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Un coche de 700kg de masa está subiendo por una cuesta. En un punto lleva una velocidad de 15m/s y en otro punto posterior 40m más alto, su velocidad es de 10m/s. Determinar:
a) Variación de energía mecánica que ha experimentado
b) Trabajo que se ha realizado sobre el coche
c) Trabajo realizado por la fuerza peso

Solución:

a) Emec=Ec+ Ep

Emec(inicial) = Eci + Epi = 700.15²/2 + 700.9,8.0 = 78750J

Emec (final) = Ecf + Epf = 700.10²/2 + 700.9,8.40 = 309400J

ΔEmec = Emec (final) – Emec (inicial) = 309400J – 78750J = 230650J

b) El trabajo total realizado sobre el coche se puede calcular aplicando el teorema de las fuerzas vivas: W=ΔEc=Ec(final) – Ec(inicial) = 700.10²/2 – 700.15²/2 = -43750J

c) Puesto que el peso es una fuerza conservativa, el trabajo realizado por esta fuerza se puede calcular como: W=-ΔEp=Ep(inicial) – Ep(final) = 0 – 700.9,8.40=-274400J

El trabajo es negativo, como cabía esperar, puesto que se opone al desplazamiento.

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Un cuerpo de 3kg que desliza por un plano horizontal lleva, en un momento dado, una velocidad de 12m/s, y después de recorrer 5m, su velocidad es de 8m/s. Determinar:
a) Energía disipada
b) Si la causa de la disipación de energía es el rozamiento, calcular el coeficiente de rozamiento
Solución:

a) La energía disipada es la energía que ha perdido el cuerpo y corresponderá, según el teorema de las fuerzas vivas, a la variación de energía cinética: W=ΔEc

W=Ec(final) – Ec(inicial) = 3.8²/2 – 3.12²/2 = -120J
La energía perdida por el cuerpo, es decir, energía disipada será: 120J

b) El trabajo realizado por cualquier fuerza se puede calcular como: W=F.Δr.cosθ
F=Froz=N.μ=P.μ=m.g.μ
W=m.g.μ.5.cos180=-120J → μ=0,816

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Una masa de 20kg se apoya en una superficie horizontal. Sobre ella se ejerce una fuerza de 70N cuya dirección forma un ángulo de 30º con la horizontal. Entre masa y superficie existe un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,2. Si la masa se ha desplazado 6m por la superficie, determinar:
a) Trabajo realizado por cada una de las fuerzas
b) Suponiendo que la masa estaba inicialmente en reposo, calcular la velocidad final que alcanza.

Solución

a) Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo serán: P ( el peso ), N ( la normal ), F ( fuerza de 70N) y Froz ( Fuerza de rozamiento que se opone al movimiento ).

Se define el trabajo como: W=F.Δr= |F|.|Δr|.cosθ

W(P)=P.6.cos90=0
W(N)=N.6.cos90=0
W(F)=70.6.cos30=363,73J
W(Froz)=Froz.6.cos180=N.μ.6.cos180=mgμ.6.cos180=20.9,8.0,2.6.(-1)=-235,2J

b) Aplicando el teorema de las fuerzas vivas, sabemos que el trabajo total realizado sobre el cuerpo será: W=ΔEc=Ecf-Eci

W=ΣWi = 0 + 0 + 363,73 – 235,2 = 128,53J = Ec(final)-Ec(inicial) = mv²/2 – 0 → v=3,59m/s

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Un bloque de 100kg en un plano liso y horizontal experimenta una fuerza de 160N que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Calcular el trabajo realizado sobre el cuerpo al recorrer un espacio de 20m y la velocidad final.

Solución:

a) W=|F|.|d|.cosθ = 160.20.cos(30)=2771,28J

b) Si aplicamos el teorema de las fuerzas vivas y suponiendo que parte del reposo:
W=ΔEc=Ecf-Eci=Ecf-0=mv²/2 → v= 7,44m/s

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