Sea el plano inclinado de la figura. Si el coeficiente de rozamiento  entre el bloque de 8kg y el suelo es de 0,05, calcula hacia dónde se mueve el sistema y con qué aceleración.

¿Qué velocidad llevará el bloque de 6kg cuando se haya desplazado 3m?

Solución:

Lo primero que debemos hacer es suponer un sentido para el movimiento del sistema y dibujar las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas en sus respectivos sistemas de referencia.

A continuación, descomponemos las fuerzas en los ejes y vemos qué ocurre en cada eje:

m=8kg
eje x: Froz + Px – T = -8a; N.μ + m.g.sen35 – T = -8a; 48,18 – T = -8a
eje y: N – Py = 0; N=Py = m.g.cos35 = 8.9,8.cos35 = 64,22N

m=6kg
eje y: T- P = -ma; T- 6.9,8 = -6a; T- 58,8 = -6a

48,18 – T = -8a
T- 58,8 = -6a

a= 0,76 m/s²; Puesto que la aceleración es positiva, hemos supuesto bien el sentido del movimiento. El sistema se mueve hacia la masa de 6kg con una aceleración de a= 0,76 m/s².

b) Aplicamos el teorema de las fuerzas vivas: ΔEc=W(F)

Ec(final)-Ec(inicial) = m.a.3; mv²/2 = m.0,76.3; v=2,14m/s

NOTA: Este mismo apartado puede resolverse también por cinemática, considerando que la masa describe un MRUA.

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En un planeta esférico de radio Rt/3 y masa Mt/2 se lanza una pelota con una velocidad de 100km/h y ángulo con la horizontal de 30º. Calcula la altura máxima que alcanzará, así como el alcance. Calcula la velocidad con la que llegará al suelo.

Dato: gt = 9,8m/s²

Solución:

Tenemos una pelota en un planeta que es lanzada con una cierta velocidad  formando un ángulo con la horizontal y por lo tanto, describirá un tiro parabólico, sometida a la aceleración que produce dicho planeta. El primer paso será calcular dicha aceleración:

g_P = GM_P/R_P²=G(M_T/2)/(R_T/3)² = (GM_T/R_T²).9/2 = 44,1 m/s²

La pelota describirá un tiro parabólico sometida a una aceleración de -44,1jm/s²

v=100km/h=27,78m/s

eje x: MRU
ax=0
Vx=27.78.cos30=24,06m/s
x=24,06t

eje y: MRUA
ay=-44,1m/s²
Vy=27,78.sen30 – 44,1t = 13,89 – 44,1t
y=13,89t – (44,1 / 2).t²

La altura máxima se alcanza cuando Vy=0 → 13,89 – 44,1t=0 → t=0,32s
Ymax=Y(0,32s) = 13,89.0,32 – (44,1 / 2).(0,32)²=2,19m

El alcance corresponde a Xmax, que se alcanza cuando Y=0 → 13,89t – (44,1 / 2).t² = 0 → t=0,63s
Xmax = 24,06.0,63 = 15,16m

La velocidad con la que la bala llega al suelo corresponde a la velocidad cuando Y=0, es decir, a los t=0,63s.
Vx=24,06m
Vy=Vy(0,63s) = 13,89 – 44,1.0,63 = -13,89 m/s
v = ( Vx, Vy) = ( 24,06 , -13,89 ) m/s

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Determina hacia dónde se mueve el sistema de la figura y con qué aceleración si:
a) No hay rozamiento
b) El coeficiente de rozamiento es de 0,08
Dato: α=35º ( ángulo del plano inclinado )

Solución:

a) Una vez establecido el sistema de referencia para cada masa y dibujadas las fuerzas, tenemos que suponer un sentido al movimiento. Yo he supuesto que se mueve hacia la izquierda, es decir, hacia la masa de 5kg. Si no es así y puesto que no hay rozamiento, con cambiar de signo la aceleración y decir que se mueve en sentido contrario, será suficiente.

Aplicamos el principio de superposición a las dos masas:
m=5kg
eje Y: T-P=-ma; T-5.9,8 = -5a; T-49 = -5a

m=7kg
eje X: Px – T = -ma; 7.9.8.sen35 – T = -7a; 39,35 – T = -7a
eje Y: N-Py=0; N=Py=mgcos35=7.9,8.cos35

Tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas. Sacamos a=0,80m/s²

Como a es positiva, quiere decir que hemos supuesto bien el sentido del movimiento. El sistema se mueve con una aceleración de 0,80m/s²

b) Si sin rozamiento el sistema se mueve hacia la izquierda, con rozamiento también se debe mover hacia la izquierda, (puesto que el rozamiento nunca produce movimiento, solo lo retarda), pero con una aceleración menor.

Aplicamos el principio de superposición a las dos masas:
m=5kg
eje Y: T-P=-ma; T-5.9,8 = -5a; T-49 = -5a

m=7kg
eje X: Px + Froz – T = -ma; 7.9.8.sen35 + N.μ – T = -7a; 39,35 + 4,50 – T = -7a
eje Y: N-Py=0; N=Py=mgcos35=7.9,8.cos35

Tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas. Sacamos a=0,43m/s²

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Si colgamos una masa de 10g de un muelle, este se estira 3cm. Calcula la constante elástica del muelle. ¿Cuánto se estiraría si lo colocamos en un plano inclinado 30º, sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre la masa de 10g y el plano es de 0,2?

Solución:

Cuando el muelle está colgado del techo, tenemos dos fuerzas y el sistema está en equilibrio. Si el sistema está en equilibrio es porque la fuerza neta tiene que ser 0.

Aplicando el principio de superposición:

eje Y: Felástica – P = 0; Felástica = Peso; mg =kx; k = mg/x = 0,01kg. 9,8 m/s²/0,03m = 3,27N/m → k=3,27N/m

En el plano inclinado, vamos a tener además la fuerza de rozamiento. La situación sigue siendo de equilibrio, de modo que la fuerza neta será 0 en ambos ejes:

eje Y: N-Py=0; N=Py=mg.cos30=0,01.9,8.cos30

eje X: Felástica + Frozamiento – Px =0; kx + Nμ – mgsen30=0

3,27.x + 0,01.9,8.cos30.0,2 – 9,8.0,01.sen30 = 0 → x=9,79.10^-3m

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Una pelota que se lanza en la Tierra con una cierta velocidad y ángulo de inclinación alcanza una altura máxima de 2m y un alcance de 15m. ¿Cuál será el alcance y la altura máxima en otro planeta sabiendo que su masa es M=M_T/2 y su radio es R=3R_T/2? Dato: g_T=9,8m/s²

Solución:

En la Tierra, la pelota, describe un movimiento parabólico, sometido a la aceleración de la gravedad sobre la superficie terrestre, es decir a=9,8m/s² .

Sobre el otro planeta, describirá el mismo tipo de movimiento, con igual velocidad inicial y ángulo de inclinación, pero deberemos cambiar la aceleración de la gravedad sobre dicho planeta.

g=GM/R² = G(M_T/2)/(3R_T/2)² = G(M_T/2)/(9R_T² / 4) = [GM_T/R_T²].4/18 = 9,8. 2/9 = 2,18m/s²

Obtenermos ahora la velocidad inicial  con que ha sido lanzada la pelota sobre la superficie terrestre, que será la misma que sobre la superficie del otro planeta.

Tiro parabólico en la Tierra:
eje x: MRU
Vx=Vox
x=Vox.t
eje y: MRUA
ay=-9,8m/s²
Vy= Voy – 9,8t
y=Voy – 9,8t²/2

La altura máxima se alcanza cuando Vy=0 → 0=Voy – 9,8t ; 2=Voy – 9,8t²/2
Si resolvemos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas: Voy=6,27m/s, t=0,64s

El alcance corresponde al valore de x cuando y=0 → 15=Vox.t ; 0 = Voy – 9,8t²/2
Si resolvemos el sistema: Vox=11,72, t=1,28s
Luego la velocidad con la que ha sido lanzada la pelota será: Vo=(11,72 , 6,27) m/s

Plantemaos ahora el problema en el otro planeta, con la misma velocidad inicial, pero con una aceleración de -2,18m/s² .
eje x: MRU
Vx=11,72m/s
x=11,72.t
eje y: MRUA
ay=-2,18m/s²
Vy= 6,27 – 2,18t
y=6,27 – 2,18t²/2
La altura máxima se alcanza cuando Vy=0 → 0=6,27 – 2,18t ; y=6,27 – 9,8t²/2
Si resolvemos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas: t=2,88s ; Ymax=11,89m
El alcance corresponde al valore de x cuando y=0 → 15=11,72.t ; 0 = 6,27 – 2,18t²/2
Si resolvemos el sistema: Xmax=67,51m ; t=5,76s

Solución: Ymax=11,89m , Xmax=67,51m

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Dos masas de 6 kg y 4 kg cuelgan de los extremos de una cuerda que pasa por una polea.
a) Dibujar todas las fuerzas que actúan sobre las masas.
b) Calcular la aceleración de las masas y la tensión de la cuerda.

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Se lanza desde la base de un plano inclinado 30º con la horizontal un cuerpo que presenta un coeficiente de rozamiento con el plano de 0,15. Si la velocidad de partida es 16m/s y tarda 2,5s en detenerse, ¿cuánto tardará en caer desde que alcanza el punto más elevado de su movimeinto hasta que llega de nuevo a la base del plano?

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Desde la base de un plano inclinado 30º con la horizontal se impulsa un cuerpo hacia arriba partiendo con una velocidad de 22m/s. Determinar el valor del coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano si se detiene después de recorrer 38m por el plano.

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Un bloque de 1,2kg de masa desciende por un plano inclinado 30º con la horizontal de forma que cuando le faltan 8m para llegar a la base tiene una velocidad de 6m/s. Calcular qué fuerza paralela al plano hay que hacer sobre el cuerpo a partir de ese instante para que se detenga en la base del plano y el tiempo que tarda en detenerse si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es de 0,17

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