Tema 6.- Sistemas de ecuaciones

Ecuaciones con dos incógnitas

Una ecuación con 2 incógnitas es una expresión de la forma: ax+by = c; siendo  x e y las incógnicas, a y b los coeficientes de las incógnitas y c el término independiente.

Una ecuación lineal con 2 incógnitas tiene infinitas soluciones, que serán las parejas de valores ( x, y ) que verifican la ecuación.

Ej: 3x-2y=6 es una ecuación lineal con 2 incógnitas. 3 y -2 son coeficientes y 6 es el término independiente. (x=2,y=0) es una solución porque cuando sustituimos los valores de x e y por dichos valores, la ecuación se verifica.
3.2-2.0=6
Pero también son soluciones posibles (x=0,y=-3) o (x=2/3,y=-2)….

Sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

Un sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente expresión general:

ax + by = c
dx + ey = f

Encontrar la solución de un sistema es hallar  la pareja de valores  (x, y)  que verifican las dos ecuaciones al mismo tiempo.

Existen diferentes métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

 Resolución de sistemas de ecuaciones.

Por sustitución

Los pasos a seguir son los siguientes:

  1. Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones
  2. Sustituimos la incógnita despejada en la otra ecuación
  3. Resolvemos la ecuación resultante y obtenemos el valor de una de las incógnitas.
  4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo en la ecuación obtenida en el apartado 1.

Método de igualación

En realidad, es otro método de sustitución, pero los 2 primeros pasos cambian ligeramente.

  1. Despejamos la misma incógnita en las 2 ecuaciones.
  2. Igualamos las expresiones obtenidas
  3. Resolvemos la ecuación resultante y obtenemos el valor de una de las incógnitas.
  4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones obtenidas en el apartado 1.

Método de reducción

  1. Debemos conseguir que una de las dos incógnitas tenga el mismo coeficiente, salvo el signo, en las dos ecuaciones. Para ello multiplicaremos cada ecuación por el número que sea necesario.
  2. Sumamos o restamos las 2 ecuaciones obtenidas en el apartado 1 para eliminar la incógnita ( si los coeficientes tienen el mismo signo, restamos las ecuaciones, si tienen signo contrario, las sumamos)
  3. Resolvemos la ecuación resultante y calculamos la 1ª incógnita
  4. Sustituimos en cualquiera de las 2 ecuaciones iniciales para obtener la otra incógnita.

Método de la doble reducción

Es un método de reducción en el que repetimos los pasos 1, 2 y 3 del anterior método para cada incógnita, de modo que no es necesario llevar a cabo el paso 4.

Escoger el método más adecuado en cada caso nos lo hará ver la práctica. Sea cual sea el método escogido, el resultado debe ser el mismo. Es muy recomendable, antes de seleccionar el método, eliminar paréntesis y denominadores y expresar el sistema en la forma:
ax+by=c
dx+ey=f

NOTA: recordad que la solución es una pareja de valores (x,y).

Ejemplo de sistema resuelto por los 4 métodos propuestos

Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones se utilizan para resolver problemas en los que tenemos más de una incógnita. Los pasos a seguir son los siguientes.

  1. Leer el enunciado e identificar nuestras incógnitas ( aquello que queremos conocer ).
  2. Establecer relaciones entre las incógnitas mediante ecuaciones en base a lo que nos dice el enunciado.
  3. Resolver el sistema obtenido y obtener la solución en las unidades adecuadas.
  4. Comprobar si el resultado es coherente y si se ajusta a nuestras ecuaciones.

Ejemplo de resolución de problemas.

Juan y Ana tienen canicas. Si Ana le da 5 canicas a Juan, este tendrá el doble que ella. Si Juan le da 10 canicas a Ana, esta tendrá el doble que él. ¿Cuántas canicas tiene cada uno?

1.- Identificamos las incógnitas:
x: canicas que tiene Juan
y: canicas que tiene Ana.

2.- Establecemos relaciones entre las incógnicas. Como son 2 incógnitas, necesitaremos 2 ecuaciones.
Si Ana le da 5 canicas a Juan, Ana tiene y-5 y Juan x+5 –> x+5=2(y-5)
Si Juan le da 10 canicas a Ana, Juan tiene x-10 y Ana tiene y+10 –> y+10=2(x-10)

3.- Resolvemos el sistema obtenido. Primero lo expresaremos en la forma habitual, con las incógnitas a la izquierda y el término independiente a la derecha.

x+5=2(y-5); x+5=2y-10; x-2y=-15
y+10=2(x-10); y+10=2x-20; -2x+y=-30

Resolvemos por reducción:
Quiero quitar la incógnita x, así es que multiplico la primera ecuación por 2 y sumo las dos ecuaciones.
2.(x-2y=-15) –> 2x-4y=-30
(2x-4y=-30) + ( -2x+y=-30 ) = (-3y=-60 )

Resolvemos la ecuación: y=-60 / (-3) –> y=20

Sustituimos en cualquiera de las ecuaciones iniciales para obtener la otra incógnita: x-2.20=-15; x-40=-15; x=40-15; x=25

Solución: x=25 canicas, y=20 canicas

¡OJO!: no olvidar las unidades

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

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