Fracciones

Una fracción es una relación entre dos números: numerador y denominador. El denominador indica en cuántas partes se divide la unidad y el numerador, las partes que se toman de esta.

Ej: 5/8 → la fracción cinco octavos indica que dividimos cada unidad en 8 partes y tomamos 5.

A veces una fracción implica más de una unidad ( cuando el numerador es mayor que el denominador ). Para saber cuantas unidades completas implica una fracción, se hace la división y se expresa como una parte entera y una porción de una unidad.

Ej: 18/7 → cuando dividimos, el cociente da 2 y el resto 4 → La fracción 18/7 = 2 + 4/7 → 18/7 corresponde a dos unidades completas y a 4 partes de 7 de la siguiente unidad.

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de un todo. Si a/b y c/d son equivalentes, se verifica que:

  • a/b = c/d
  • a.d = c.b

Para obtener fracciones equivalentes se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número.

Ej: 3/4 es equivalente a 12/16, ya que se ha obtenido multiplicando numerador y denominador por 4 ( (3.4) / (4.4) = 12/16 )

Comparación de fracciones ( método del m.c.m.)

Para comparar fracciones lo que haremos será obtener fracciones equivalentes de cada una de ellas que tengan el mismo denominador. Así, lo que compararemos serán los numeradores.

  • Hallamos el m.c.m. de los denominadores
  • Obtenemos las fracciones equivalentes cuyo denominador sea el m.c.m.
  • Comparamos los numeradores de las fracciones obtenidas.

Ej: Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 7/9, 2/3 y 3/4

  1. Calculamos el mínimo común múltiplo de 9, 3 y 4 → mcm(9,3,4)=36
  2. Obtenemos las fracciones equivalentes de 7/9, 2/3 y 3/4 con denominador 36 → 7/9=(7.4)/(9.4) = 28/36 ; 2/3 = (2.12) / (3.12) = 24/36; 3/4 = (3.9) / (4.9) = 27/36
  3. Comparamos los numeradores de las fracciones obtenidas: 28 > 27 > 24

Solución: 28/36 > 27/36 > 24/36 → 7/9 > 3/4 > 2/3

fracción irreduciblE

Es la fracción equivalente que tiene el menor numerador posible.

Para obtener la fracción irreducible:

  • Descomponemos numerador y denominador en factores primos
  • Simplificamos todos los factores que sean comunes.

Ej: Obtener la fracción irreducible de 30/42

30/28 = 2.3.5 / 2.3.7 = 5/7

La fracción irreducible de 30/28 es 5/7, ya que es la fracción equivalente con menor denominador.

Operaciones con fracciones

Suma y resta

Para sumar o restar fracciones

  • Hallamos el m.c.m. de los denominadores y obtenemos las fracciones equivalentes con dicho denominador
  • El resultado se obtiene sumando o restando los numeradores de las fracciones equivalentes y dejando el mismo denominador
  • Comprobamos que el resultado es irreducible. Si no es así obtenemos la fracción irreducible.

Ej: Opera y simplifica la siguiente  expresión 5/18 + 3/4 – 2/3=

Calculamos el m.c.m. de los denominadores:

18=2.3.3.1; 4=2.2.1; 3=3.1 → m.c.m(18,4,3)=2.2.3.3 = 36

5/18=(5.2)/(9.2)=10/36; 3/4=(3.9)/(4.9)=27/36; 2/3=(2.12)/(3.12)=24/36

5/18 + 3/4 – 2/3 = 10/36 + 27/36 – 24/36 = (10 + 27 – 24 ) / 36 = 13/36

Vemos si es fracción irreducible:

13=13.1; 36=2.2.3.3 → m.c.d.(13,36)=1 → es fracción irreducible

Solución: 13/36

Multiplicación

El resultado de la multiplicación de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador será el producto de los numeradores y cuyo denominador será el producto de los denominadores. NOTA: si la fracción se puede simplificar, obtendremos la fracción irreducible.

a/b . c/d = (a.c) / (b.d)

Ej: 3/4 . 10/3 = (3.10) / (4.3) = 30/12

Obtenemos la fracción irreducible calculando el máximo común divisor de numerador y denominador.

30 = 2.3.5; 12 = 2.2.3 → m.c.d.(30,12) = 2.3 = 6

30/12 = (30:6) / (12:6) = 5/2

Solución: 5/2

División

El resultado de la división de fracciones es otra fracción que se obtiene como producto de la primera por la inversa de la segunda ( también se puede obtener como productos cruzados.

a/b : c/d = a/b . d/c = (a.d) / (b.c)

Ej.: 3/4 : 5/2 = 3/4 . 2/5 = (3.2) / (4.5) = 6 / 20

Fracción irreducible: m.c.d.(6,20) = 2 → 6/20=(6:2)/(20:2) = 3/10

Solución: 3/10

Potencias

La potencia de una fracción es otra fracción cuyo numerador es la potencia del numerador y cuyo denominador es la potencia del denominador (recordad simplificar si la fracción no es irreducible)

(a/b)c = ac / bc

Jerarquía de las operaciones

La jerarquía de las operaciones es idéntica a la de los número enteros:

  • Paréntesis ( si hay paréntesis anidados, de los más interiores a los más exteriores )
  • Potencias y raíces
  • Multiplicaciones y divisiones ( si hay varias consecutivas, se realizan de izquierda a derecha )
  • Sumas y restas

Expresión decimal de una fracción

Toda fracción se puede expresar como un número decimal efectuando la división del numerador entre el denominador.

Los números decimales pueden ser exactos, decimal periódico puro o decimal periódico mixto.

Decimal exacto: son decimales con un número limitado de cifras decimales. Una fracción cuya expresión decimal es exacta tiene una fracción equivalente cuyo denominador es un 10.

Decimal periódico puro: la parte decimal está formada por un grupo de cifras que se repite. Estas cifras que se repiten se llaman periodo.

Decimal periódico mixto la parte decimal de estos números tiene una parte que no se repite y una parte que sí se repite. El grupo de números que no se repite se llama anteperiodo. La parte de cifras que se repite se llama periodo.

Operaciones con números decimales

Sumas y restas

  • Escribimos los números uno debajo del otro, de modo que coincidan las comas.
  • Sumamos o restamos como si fueran números enteros, respetando el lugar que ocupa la coma.

multiplicación

  • Multiplicamos como si se tratara de números enteros
  • Contamos cuántas cifras decimales hay entre los dos números y situamos la coma en el resultado contando a partir de la derecha

división

  • Multiplicamos dividendo y divisor por una potencia de diez con tantos ceros como cifras decimales tienen el divisor
  • Hacemos la división colocando la coma en el cociente cuando bajamos la primera cifra decimal del dividendo.

Raíz cuadrada con decimales

  • Separamos el número en dos partes: la parte entera y la parte decimal.
    • La parte entera la separamos en grupos de dos de derecha a izquierda
    • La parte decimal la separamos en grupos de dos de izquierda a derecha ( si el número de decimales es impar, añadimos un cero a la izquierda del decimal )
  • Calculamos la raíz de la parte entera como se explico en el tema anterior. Ponemos la coma en el radicando y continuamos bajando grupos decimales operando de la misma manera que lo hacíamos con la parte entera.

Fracción generatriz

Decimal exacto

Para obtener la fracción generatriz de un decimal exacto multiplicamos y dividimos el número por una potencia de 10 con tantos ceros como decimales tiene el número. NOTA: no olvidar reducir la solución si no es irreducible.

Ej.: Fracción generatriz de 1,76 = (1,76.100) / 100 = 176 / 100

Periódico puro

  1. Llamamos al número x
  2. Multiplicamos la igualdad anterior por una potencia de 10 con tantos ceros como cifras tiene el periodo.
  3. Restamos, a la expresión obtenida en el apartado 2., la obtenida en el apartado 1.
  4. Despejamos x. (Si la fracción obtenida es reducible, la reduciremos)

Periódico mixto

  1. Llamamos al número decimal x
  2. Multiplicamos la igualdad anterior por una potencia de 10 con tantos ceros como cifras tiene el periodo.
  3. Multiplicamos la igualdad del apartado 1. por una potencia de 10 con tantos ceros como cifras tienen el periodo y el anteperiodo juntos.
  4. Restamos, a la igualdad del apartado 3., la igualdad del apartado 2.
  5. Despejamos x ( Si la fracción obtenida es reducible, la reduciremos )

Ejercicios del tema

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