Tema 2.- Potencias y raíces cuadradas

¿Qué es una potencia? Base y exponente

Una potencia es una forma reducida de expresar la multiplicación del mismo factor un cierto número de veces. El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite dicho factor se llama exponente.

Ej: 34 = 3.3.3.3;  (-2)5 = (-2).(-2)(-2)(-2)(-2)

  • La potencia de base positiva es siempre positvia
  • La potencia de base negativa será positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar.

Operaciones con potencias de la misma base

  • am.an=a(m+n)
    am:an=a(m-n)
    (am)n=a(m.n)

Operaciones con potencias del mismo exponente

  • am.bm=(a.b)m
    am:bm=(a:b)m

Raíces cuadradas

La raíz cuadrada de un número es otro número tal que multiplicado por sí mismo, nos devuelve el primero. √a=b ↔ b2 = a

Cuando la raíz cuadrada de un número es un  número entero decimos que el primero es un cuadrado perfecto y que el segundo es una raíz cuadrada exacta.

Ej.: 9 es el cuadrado perfecto de 3 ya que 32=9 y 3 es la raíz cuadrada exacta de 9 ya que √9 = 3

Si el número no es un cuadrado perfecto, llamamos raíz cuadrada entera al mayor entero cuyo cuadrado es menor que dicho número y resto de la raíz cuadrada entera  a la diferencia entre el número y el cuadrado de la raíz cuadrada entera:

Ej: 18 tiene como raíz cuadrada entera 4 ( puesto que su cuadrado es el que más se aproxima, sin pasarse, a 18 ) y como resto de la raíz cuadrada entera, 2 ( ya que 18 – 42 = 2 )

Raíz cuadrada entera y resto de una raíz.

Para calcular la raíz cuadrada entera y el resto de la raíz cuadrada entera de cualquier número, seguimos los siguientes pasos.

  1. Separamos el radicando en grupos de 2 de la derecha hacia la izquierda.
  2. Cogemos el primer grupo de la izquierda y buscamos el mayor entero que elevado al cuadrado se aproxima, sin pasarse, al valor del primer grupo. Lo ponemos en el resultado de la raíz.
  3. Elevamos al cuadrado y restamos este resultado al primer grupo. Bajamos el siguiente grupo.
  4. Duplicamos el resultado de la raíz y ponemos junto a este un número tal que multiplicado por sí mismo se acerque lo más posible al número del radicando, pero sin pasarse. Este número lo subimos a la raíz y lo restamos del número que aparece en el radicando
  5. Seguimos bajando grupos y repitiendo el paso 4 hasta terminar con todos los grupos del radicando.
  6. Lo que queda a la derecha será la raíz cuadrada entera de nuestro número. El resultado a la izquierda, será el resto de la raíz cuadrada entera. Como comprobación, ha de verificarse que: a = (raíz cuadrada entera)2 + (resto)

Jerarquía de las operaciones

En aquellas operaciones combinadas en las que aparecen raíces y potencias, el orden en el que deben llevarse a cabo las operaciones es el siguiente:

  1. Paréntesis, si están anidados, de dentro a fuera.
  2. Potencias y raíces.
  3. Multiplicaciones y divisiones.
  4. Sumas y restas

Ejemplo:
4 + (7-5)2 – [-42 – (2+16):3]:2 =
1.- Paréntesis, si están anidados, de dentro a fuera
= 4 + 22 – [ -42 – 18:3]:2 =
= 4 + 22 – [ -16 – 18:3]:2 =
= 4 + 22 – [ -16 – 6]:2 =
= 4 + 22 – (-22):2 =
2.- Potencias y raíces
= 4 + 4 – (-22):2 =
3.- Multiplicaciones y divisiones
= 4 + 4 – (-11) =
4.- Sumas y restas
= 8 – (-11) =
= 8 + 11 = 19


Ejercicios del tema

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