Monotonía, Representación y Área.-J2002B2
Se considera la curva de ecuación y = x³ – 4x
a) Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección con los ejes coordenados y de sus máximos y mínimos relativos, si existen
b) Representar gráficamente la curva
c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX
Solución
y=0 → x³ – 4x = 0 → x·(x2 – 4) = 0 → x=0, x=2, x=-2
Puntos de corte con el eje x: (0,0), (2,0), (-2,0)
Puntos de corte con el eje y:
x=0 → y=0
Puntos de corte con el eje y: (0,0)
Extremos relativos:
Para calcular los extremos relativos, derivamos la función e igualamos a 0:
y’=3x2 – 4
y’=0 → 3x2 – 4 = 0 → x2 = 4/3 → x = +(4/3)1/2
Si x=(4/3)1/2, y=(4/3)3/2 – 4.(4/3)1/2 = -16/33/2
Si x=-(4/3)1/2, y=-(4/3)3/2 + 4.(4/3)1/2 = 16/33/2
Para ver si son máximos o mínimos, calculamos la segunda derivada:
y” = 6x
y”(x=(4/3)1/2) > 0 → ((4/3)1/2, -16/33/2) es un MÍNIMO
y”(x=-(4/3)1/2) < 0 → (-(4/3)1/2, 16/33/2) es un MÁXIMO
b)
Utilizamos los datos hallados en el ejercicio anterior para representar la curva:
c) Para calcular el área que nos piden, nos fijamos en la representación y vemos que la curva delimita dos zonas con el eje OX: (-2,0) y (0,2)
Para calcular estas áreas, utilizaremos la integral definida, teniendo en cuenta que cuando el área queda por debajo del eje OX, la integral será negativa y tendremos que cambiar de signo para obtener el área. El área total será
∫(x3-4x)dx = x4/4 -4x2/2
A = -( 0 – (16/4-16/2)) + ((16/4-16/2)-0) = 16/4 + 16/4 = 16/2 = 8u2
Tags: área, monotonía, representación gráfica