S2009A4.-Tamaño mínimo de la muestra y distribución normal de las medias muestrales
Se supone que el tiempo de una conversación en un teléfono móvil se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 1,32 minutos. Se desea estimar la media del tiempo de las conversaciones mantenidas con un error inferior o igual en valor absoluto a 0,5 minutos y con un grado de confianza del 95%.
- Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar para llevar a cabo dicha estimación mediante la media muestral.
- Si se supone que la media del tiempo de las conversaciones es de 4,36 minutos y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de las conversaciones de la muestra esté comprendido entre 4 y 5 minutos?
Solución:
1.- Nos piden el tamaño mínimo que deben tener las muestras para que el error en las medias muestrales difiera menos del 5% con un nivel de confianza del 95%.
El error tiene el siguiente comportamiento: ε = σ.Z/√n
siendo σ la desviación típica de la población: 1,32 minutos
Z: p(z≤Z)=0,95 + 0,05/2 = 0,975 → Z = 1,96
n: tamaño mínimo de la muestra
0,5 < 1,32.1,96/√n → n > (1,32.1,96/0,5)2=26,8 → n=27
2.- La distribución normal que siguen las medias muestrales de tamaño n=16 será: N(4,36 , 1,32/√16) = N(4,36 , 0,33)
Nos piden calcular la siguiente probabilidad: p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4)
Para poder utilizar la tabla de N(0,1), tendremos que tipificar:
z1=(5-4,36)/0,33 = 1,94
z2=(4-4,36)/0,33 = -1,09
p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4) = p(z≤1,94) – p(z≤-1,09)
p(z≤1,94) = 0,9738
p(z≤-1,09) = p(z ≥ 1,09) = 1 – p(z≤1,09) = 1 – 0,8508
p(4≤x≤5) = p(x≤5) – p(x≤4) = p(z≤1,94) – p(z≤-1,09) = 0,9738 – (1 – 0,8508) = 0,8246 = 82,46%
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