Representación de función polinómica

• DOMINIO

Puesto que se trata de un polinomio Dom f(x)={x∈R}

• MONOTONÍA
  • Calculamos la derivada:

f’(x)=12x³+12x²-24x

• • Igualamos la derivada a 0 para encontrar los posibles extremos relativos.

f’(x)=0 → 12x³+12x²-24x=0 → x(12x²+12x-24)=0
x=0
12x²+12x-24=0 → x²+x-2=0 → x=1, x=-2
Posibles extremos relativos: x=0, x=1, x=-2

• • Dividimos la recta real en intervalos teniendo en cuenta los extremos relativos y estudiamos el signo de la derivada:

(-∞,-2) f’(x)<0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo
(-2,0) f’(x)>0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo
(0,1) f’(x)<0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo
(1,+∞) f’(x)>0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo

Como en torno a x=-2 la monotonía pasa de decreciente a creciente, este punto es un MÍNIMO. f(-2)=-30
Como en torno a x=0 la monotonía pasa de creciente a decreciente, este punto es un MÁXIMO. f(0)=2
Como en torno a x=1 la monotonía pasa de decreciente a creciente, este punto es un MÍNIMO. f(1)=-3

• REPRESENTACIÓN GRÁFICA

• TANGENTE EN EL PUNTO DE COORDENADA x=-1
• Obtenemos el punto donde queremos calcular la tangente

x=-1, f(-1)=12(-1)³+12(-1)²-24(-1)=-11 → punto (-1,-11)
La recta tangente tendrá como ecuación y=mx+n y debe cumplir que:

• m=f’(x=-1)
• y=mx+n pasa por el punto (-1,-11), es decir -11=m.(-1) + n

m=12(-1)³+12(-1)²-24(-1)=24
-11=24.(-1)+n → n=13