Representación de función racional con asíntota horizontal

• DOMINIO

Puesto que se trata de una función racional los únicos problemas serán los ceros del denominador: x²-1=0 → x²=1; x=√1; x=1, x=-1

• MONOTONÍA
  • Calculamos la derivada:

f’(x)=((x²+1)’(x²-1)-(x²+1)(x²-1)’) / (x²-1)²=
(2x(x²-1)-(x²+1).2x) / (x²-1)²=(2x³-2x-2x³-2x)/(x²-1)²=-4x/(x²-1)²

• • Igualamos la derivada a cero para obtener los posibles extremos relativos

f’(x)=0; -4x/(x²-1)²=0; -4x=0; x=0
Posible extremo relativo: x=0

• • Divido la recta real en intervalos teniendo en cuenta los posibles extremos relativos y los ceros del denominador y estudio el signo de la derivada en dichos intervalos:

(-∞,-1) f’(-2)=-4(-2)/+ > 0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo
(-1,0) f’(-0,5)=-4(-0,5)/+ > 0 → f(x) es CRECIENTE en este intervalo
(0,1) f’(0,5)=-4(0,5)/+ < 0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo
(1,+∞) f’(2)=-4.2/+ < 0 → f(x) es DECRECIENTE en este intervalo

En torno a x=0 la función primero crece y luego decrece → es un MÁXIMO
x=0, f(x=0)=(0²+1)/(0²-1)=1/-1=-1

• ASÍNTOTAS

Asíntotas Verticales: Las A.V. son los ceros del denominador de la función:
x=1 y x=-1
Para representar debemos calcular los límites laterales, de modo que sepamos si en torno a las asíntotas, la función va a +∞ o a -∞
x=1
lim_x→1- (x²+1) / ( x²-1 )=2/0^- = -∞
lim_x→1+ (x²+1) / ( x²-1 )=2/0⁺ = +∞
x=-1
lim_x→-1- (x²+1) / ( x²-1 )=2/0⁺ = +∞
lim_x→-1+ (x²+1) / ( x²-1 )=2/0^- = -∞

Puesto que el orden del numerador es igual al orden del denominador, habrá asíntota horizontal y no oblicua. Estas asíntotas determinan a qué se aproxima la función cuando x tiende a +∞ o a -∞
Asíntota Horizontal:
y=lim_x→∞ (x²+1) / ( x²-1 ) = ∞/∞ Indeterminación
Puesto que el orden del numerador es igual que el del denominador, aplicamos la regla:
y=lim_x→∞ (x²+1) / ( x²-1 ) = 1/1 = 1 → y=1

• PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

f(x)=(x²+1) / ( x²-1 )
x=0 → f(0) = 1/1=1 → (0,1)
f(x)=0 → x²+1=0 → x²=-1 → x=√-1 Imposible

• REPRESENTACIÓN GRÁFICA

• TANGENTE EN x=2
  • Obtenmos el punto donde queremos calcular la tangente

x=2 → f(2)=(2²+1)/(2²-1)=5/3 → (2 , 5/3)
La ecuación de la recta tangente es y=mx+n
La tangente tiene que cumplir 2 condiciones

• • m=f’(x=2)=-4.2/(2²-1)²=-8/9
  • La recta tiene que pasar por el punto (2,5/3), es decir,

5/3=-8/9 ·2 + b; 5/3=-16/9 + b; 5/3+16/9=b; (15+16)/9=b; b=31/9