Optimización. Rectángulo de área máxima
Hallar las dimensiones de un terreno rectangular cuyo perímetro es 80m si se desea que su área sea máxima.
Solución
Para maximizar una función, debemos
- derivar
- igualar a cero.
Para ello, lo primero que tenemos que hacer es encontrar la función y hacer que dependa de una única incógnita.
La función a maximizar será: A=x.y
siendo x e y las dimensiones de mi rectángulo
El perímetro será: P=2x+2y=80
Despejamos y: 2y=80-2x; y=(80-2x)/2=40-x
Sustituimos en A:
A=x.(40-x)=40x-x2
Derivamos:
A’=40-2x
Igualamos a 0:
A’=0 → 40-2x=0; 40=2x; x=40/2=20m
Despejamos y=40-20=20m
Verificamos que se trata de un máximo utilizando la 2ª derivada:
A”=-2
A”(x=20)=-2 < 0 → x=20 es un máximo
Solución: las dimensiones del rectángulo que maximizan el área serán x=y=20m
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