Optimización. Perímetro mínimo
Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 3600m2 de superficie para poderlo cercar mediante una valla de longitud mínima.
Solución
Para optimizar, debemos derivar la función a optimizar e igualar la derivada a 0 para así obtener sus extremos relativos.
Primero debemos encontrar la función y expresarla en función de una única incógnita:
Sabemos que: S=x.y=3600m2
La funcióna minimizar es el perímero: P=2x + 2y
y=3600/x
P=2x+2(3600/x) = 2x + 7200/x
Derivamos: P’=2-7200/x2
Igualamos a 0: P’=0
2-7200/x2=0; (2x2-7200)/x2=0; 2x2-7200=0; 2x2=7200; x2=7200/2; x2=3600; x=±60
Primero debemos encontrar la función y expresarla en función de una única incógnita:
Sabemos que: S=x.y=3600m2
La funcióna minimizar es el perímero: P=2x + 2y
y=3600/x
P=2x+2(3600/x) = 2x + 7200/x
Derivamos: P’=2-7200/x2
Igualamos a 0: P’=0
2-7200/x2=0; (2x2-7200)/x2=0; 2x2-7200=0; 2x2=7200; x2=7200/2; x2=3600; x=±60
El valor x=-60m no tiene sentido, pues un objeto no puede tener dimensiones negativas, luego x=60m será la solución. y=3600/60=60m
Demostramos que se trata de un mínimo utilizando la 2ª derivada:
P”=14400/x3
P”(x=60)=14400/603 > 0 → x=60 es un mínimo
Solución: x=60m e y=60m
Tags: optimización, optimizar