Optimización de funciones
De dos números positivos se sabe que suman 10. Hallad dichos números de manera que la suma de sus cuadrados sea mínima
Solución
Como desconocemos cuáles son los números, los llamaremos x e y:
x+y=10
La función que quiero minimizar es:
f=x2+y2
Para encontrar el máximo o el mínimo de una función debemos:
1.- Derivar
2.- Igualar a cero
pero para poder derivar, solo debe depender de una incógnita así es que utilizamos la primera ecuación para despejar una incógnita y sustituir.
f=x2+(10-x)2
f=x2+(100+x2-20x)=2x2-20x+100
x+y=10
La función que quiero minimizar es:
f=x2+y2
Para encontrar el máximo o el mínimo de una función debemos:
1.- Derivar
2.- Igualar a cero
pero para poder derivar, solo debe depender de una incógnita así es que utilizamos la primera ecuación para despejar una incógnita y sustituir.
f=x2+(10-x)2
f=x2+(100+x2-20x)=2x2-20x+100
- Derivamos
f’=4x-20
- Igualamos a cero
f’=0; 4x-20=0; 4x=20; x=20/4=5 → y=10-x=10-5=5
- Ahora demostramos que se trata de un mínimo, utilizando la 2ª derivada:
f”=4
f”(x=5)=4>0 → x=5 es un mínimo
NOTA: si nos hubiera salido que x=5 es unb máximo, deberíamos haber buscado el valor mínimo en los extremos de los valores que puede tomar x, es decir, x=0 o x=10, puesto que los valores máximos y mínimos pueden estar o bien entre los extremos relativos (f’=0) o bien en los extremos del intervalo.
Solución: x=5 e y=5
Tags: optimización