Domingo 7 de marzo 2010, a las 12:00h, en Madrid (Plaza de Cibeles-Puerta del Sol):
ALBA MISIONERA: http://www.albadigital.es/wp- content/uploads/2010/02/266_2. pdf
También tú tienes algo que decir.
Frente a la injusticia contra el mas débil, no podemos quedarnos callados.
“España Vida Sí” - marchavida.derechoavivir. org
El peso de los perros adultos de una cierta raza es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con desviación típica de 0,6kg. Una muestra aleatoria de 30 animales ha dado un peso medio de 7,4kg.
a) Calcula un intervalo de confianza al 99% para el peso medio de los perros adultos de esta raza.
b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para tener una confianza del 95% de que la media muestral no se diferencie más de 0,3kg de la media de la población.
a) Intervalo de Confianza ( 7.12 , 7.68 )
b) Tamaño mínimo de la muestra: n=16
Una variable aleatoria X tiene una distribución normal siendo su desviación típica igual a 3.
a) Si se consideran muestras de tamaño 16, ¿qué distribución sigue la variable aleatoria media muestral?
b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la población, con probabilidad de 0,99; ¿cuántos elementos, como mínimo, deberían tomar en la muestra?
a) población: N(µ,3) –> muestra: N(µ,3/√16)
b) n=60
La duración de las baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene una distribución normal de media 34,5 horas y de desviación típica 6,9 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 teléfonos móviles:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté comprendida entre 32 y 32,5 horas?
b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?
a) Si la población sigue una distribución N(34.5 , 6.9), una muestra de tamaño n=36, seguirá una distribución N(34.5 , 6.9/√36) = N(34.5 , 1.15)
p(32≤x≤33.5) = p(x≤33.5) – p(x≤32) → tipificando → p(32≤x≤33.5) = p(z≤z1) – p(z≤z2)
z1=(33.5-34.5)/1.15 = -0,87
z2=(32-34.5)/1.15 = -2,17
p(z≤-0,87) = p(z>0,87) = 1 – p(z≤0,87) = 1 – 0,8078 = 0,1922
p(z≤-2,17) = p(z>2,17) = 1- p(z≤2,17) = 1 – 0,9850 = 0,015
b) p(x>38) = 1 – p(x≤38)
Si tipificamos: p(x≤38)=p(z≤((38-34.5)/1.15)) = p(z≤3,04) = 0,9988
Resulta una probabibilidad prácticamente nula.
Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una distribución normal con media 100 meses y desviación típica 12 meses. Determina el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad de 0.98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses.
Si la vida media debe encontrarse entre 90 y 110 meses, es porque ε < 10.
ε = Zk.σ / √n → Zk.12/√n < 10
Como P(z≤Zk) = 0.98 + 0.01 = 0.99 → zK = 2.33
2.33 · 12 / √n < 10 → √n > 2,33.12/10 → n > (2,33.12/10)2 → n > 7,82 → n=8
Solución: El tamaño mínimo que debe tener la muestra para que la vida media se encuentre entre 90 y 110 con probabilidad del 98% es de n=8
Se desea estudiar el gasto semanal de fotocopias, en pesetas, de los estudiantes de bachillerato de Madrid. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de estos estudiantes, resultando los valores siguientes para esos gastos:
100 150 90 70 75 105 200 120 80
Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio, sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación típica igual a 12. Determínese un intervalo de confianza al 95% para la media del gasto semanal en fotocopias por estudiante.
La población sigue una distribución normal N(µ,12)
La muestra, seguirá una distribución normal N(µ,12/√9) = N(µ,4)
Como no nos dan la media de la población, calulamos la media de la muestra a partir de los propios datos de la muestra:
media de la muestra = Σxi/n =(100+150+90+70+75+105+200+120+80)/9=110
La muestra sigue una distribución: N(110,4).
Si el nivel de confianza tiene que ser del 95%, mi intervalo de confianza será: (µ-k, µ+k)
k=Zk.σ/√n = Zk.12/ √9
Como: P(x ≤ µ+k) = P( z ≤ Zk ) = 0,975 –> Zk = 1,96 –> k = 1,96.12/3 = 7,84
Luego, mi intervalo de confianza será: ( 110-7,84 , 110+7,84 )
Solución: La probabilidad de que al escoger un trabajador al azar su gasto semanal en fotocopias esté comprendido entre ( 102.16 , 117.84 ) es del 95%
Una cierta señalización de seguridad tiene instalados dos indicadores. Ante una emergencia, los indicadores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer indicador es de 0,95 y de que se active el segundo indicador es de 0,90.
a) Hallar la probabilida de que, ante una emergencia se active sólo uno de los indicadores.
b) Hallar la probabilidad de que, ante una emergencia, se active, al menos, uno de los indicadores.
p(A1)=0,95 → p(NoA1)=0,05
p(A2)=0,90 → p(NoA2)=0,10
Se trata de sucesos independientes → p( A1∩A2)=p(A1).p(A2)
a) suceso S=sólo se activa un indicador:
p(S)=p(A1∩NoA2) + p(NoA1∩A2)=p(A1).p(NoA2) + p(NoA1).p(A2)=0,95.0,10 + 0,05.0,90 = 0,14
p(S) = 0,14 = 14%
b) suceso R=se activa al menos un indicador:
p(R)=p(A1∩NoA2) + p(NoA1∩A2) + p( A1∩A2) = p(A1∩NoA2) + p(NoA1∩A2)=p(A1).p(NoA2) + p(NoA1).p(A2) + p(A1).p(A2) = 0,95.0,10 + 0,05.0,90 + 0,95.0,90 = 0,995
p(R) = 0,995 = 99,5%
En un colectivo de inversores bursátiles, el 20% realiza operaciones vía inernet. De los inversores que realizan operaciones vía internet, un 80% consulta InfoBolsaWeb. De los inversores bursátiles que no realizan operaciones vía internet sólo un 20% consulta infoBolsaWeb. Se pide:
a) Obtener la probabilidad de que un inversor bursátil elegido al azar en este colectivo consulte InfoBolsaWeb.
b) Si se elige al azar un inversor bursátil de este colectivo y resulta que consulta InfoBolsaWeb, ¿cuál es la probabilidad de que realice operaciones por internet?
| OI→0,2 | CP→0,8 |
| NCP→0,2 | |
| NOI→0,8 | CP→0,2 |
| NCP→0,8 | |
a)
p(CP) = p(OI∩CP) + p(NOI∩CP) = p(OI).p(CP/OI) + p(NOI).p(CP(NOI) = 0,2.0,8 + 0,8.0,2 = 0,32
b)
Tenemos que aplicar el teorema de Bayes de probabilidad a posteriori:
p(OI/CP) = p(OI∩CP)/p(CP) = p(OI).p(CP/OI) / p(CP) = (0,2.0,8) / 0,32 = 0,16 / 0,32 = 0,5
Sean A y B dos sucesos tales que p(A)=1/2, p(B’)=2/5 y p(A’ U B’)=3/4. Calcular:
a) p(B/A)
b) p(A’/B)
Nota: A’ representa el suceso contrario o complementario al suceso A.
a) Por definición: p(B/A) = p(B∩A)/p(A)
Utilizando Morgan: p(A’ U B’)= p( (A∩B)’ ) = 1 – p(A∩B) = 3/4 → p(A∩B) = 1-3/4 = 1/4
b) Para resolver este apartado, hemos de mirar la siguiente imagen:
Como por definición: p(A’/B) = p(A’∩B)/p(B)
Viendo la imagen vemos que: p(A’∩B) = p(B) – P(A∩B)
p(B) + p(B’) = 1 → p(B) = 1-p(B’) = 1 – 2/5 = 3/5
p(A’∩B)= 3/5 – 1/4 = (12 – 5) / 20 = 7/20
De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesivamente y sin
reemplazamiento, dos bolas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas?
b) Si la segunda bola ha resultado ser negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido?
a)
Sea B = suceso sacar bola blanca
P(B1B2) = 4/6·3/5 = 12/30 = 6/15
b)
Puesto que se trata de probabilidad a posteriori, tenemos que utilizar el teorema de Bayes
Sea N = suceso sacar bola negra
P(N1 / N2) = P( N1 ∩ N2 ) / p( N2 ) = P( N1 ∩ N2 ) / P( N1 ∩ N1 ) + P( N1 ∩ N2 ) = (2/6·1/5) / (4/6·2/5) + (2/6·1/5) = 2/10 = 1/5