J2003B2.- Monotonía, asíntotas y recta tangente
Dada la función f(x) = x/(1-x2)
a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento
b) Calcular sus asíntotas
c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x=0
Solución
a) Para estudiar la monotonía, hemos de trabajar con la 1ª derivada.
f´(x) = (1.(1-x2) – x(-2x))/(1-x2)2 = (1 + x2)/(1-x2)2
Buscamos los ceros de f´(x) para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimie nto.
f´(x)=0 → (1 + x2)/(1-x2)2=0 –> (1 + x2)=0 → No hay valores de x que hagan cero la 1ª derivada
En los intervalos hemos de tener en cuenta también los puntos en que la función no está definida, es decir, que no pertenecen al dominio.
1-x2 = 0 → x2 = 1 → x = ±1
Los intervalos que tenemos que estudiar serán:
(-∞, -1) → f’(x) > 0 → f(x) es creciente
(-1, 1) → f’(x) > 0 → f(x) es creciente
(1, +∞) → f’(x) > 0 → f(x) es creciente
Solución: f(x) es creciente en todo su dominio
b) Asíntotas verticales:
Puntos que no pertenecen al dominio de f(x), donde la función se hace ±∞:
x=1, x=-1
Asíntotas horizontales:
valores de y a los que tiende f(x) cuadno x → ±∞
lim(x→±∞) f(x) = 0
y=0
Asíntotas oblicuas:
puesto que tiene asíntotas horizontales, no tendrá asíntotas oblicuas
c) La recta tangente a la gráfica en x=0 será una recta de ecuación y = mx + b donde
m = f’(x=0) = 1
La recta debe pasar por el punto x=0, f(x=0)=0
0 = 1.0 + b → b=0
Recta tangente en x=0: y = x
Tags: asíntotas, monotonía, recta tangente