Examen 1Ev2009P2- Ecuaciones racionales e irracionales
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) (6+2x)1/2 – (4+x)1/2=1
b) (2-3x)/(x-3) – x2/(x2-5x+6) = -2x/(x-2)
Solución:
a) Se trata de una ecuación irracional, de manera que debemos elevar al cuadrado ambos términos de la ecuación para eliminar las raíces:
[(6+2x)1/2 - (4+x)1/2]2=(1)2 ; (6+2x) + (4+x) -2(6+2x)1/2.(4+x)1/2=1
Aislamos las raíces y volvemos a elevar al cuadrado para quitar definitivamente las raíces:
3x+9 = 2(6+2x)1/2.(4+x)1/2; (3x+9)2 = [2(6+2x)1/2.(4+x)1/2]2
9x2 + 81 + 54x = 4(24 + 14x + 2x2); x2 – 2x – 15 = 0
Resolvemos la ecuación de 2º grado: x = ( 2 ± (4+60)1/2)/2 = (2±8)/2; x=5, x=-3
Tenemos 2 posibles soluciones. Debemos comprobar si de verdad son soluciones, puesto que se trata de una ecuación irracional y al elevar al cuadrado podemos estar introduciendo soluciones que no lo sean de nuestra ecuación original:
x=5; √16 – √9 = 1 → x=5 es solución
x=-3; √0 – √1 = 1 → -1=1 → x=-3 no es solución
Solución: x=5
b) Se trata de una ecuación racional, de modo que el primer paso será factorizar los denominadores para encontrar el denominador común y quitar denominadores:
x2-5x+6=(x-3)(x-2)
(2-3x)/(x-3) – x2/(x2-5x+6) = -2x/(x-2); (2-3x)(x-2)/(x-2)(x-3) – x2/(x2-5x+6) = -2x(x-3)/(x-2)(x-3);
(2-3x)(x-2) – x2 = -2x(x-3); x2-x+2=0
Resolvemos la ecuación de 2º grado: x=( 2 ± (1-8)1/2)/2 → No hay solución puesto que nos queda la raíz de un número negativo
