Sea la función f(x) = 2x3 + bx2 + ax – 5
a) Hállense los valores de a y b de forma que f(x) tenga un máximo en x=1 y un mínimo en x=2.
b) Hállese el área de la región limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x=0 y x=3
Solución
a) Para que x=1 sea un máximo y x=2 sea un mínimo, la primera derivada de f(x) debe ser igual a “0″ en estos puntos.
f’(x)=6x2 + 2·b·x + a
f’(x=1) = 6.1 + 2b + a = 0
f’(x=2) = 6·4 + 2·b·2 + a = 0
Tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas:
6 + 2b + a = 0
24 + 4b + a = 0
Si resolvemos el sistema por cualquiera de los métodos que conocemos, por ejemplo sustitución:
a = -6 – 2b
24 + 4b – 6 – 2b = 0 → 18 + 2b = 0 → 2b = -18 → b = -18/2 → b = -9
a = -6 – 2b = -6 – 2·(-9) = -6 + 18 → a = 12
b) Para calcular el área, representamos la función. Encontramos los puntos de corte con el eje x:
Por Ruffini, llegamos a que x=1 es una raiz. Resolvemos la ecuación de 2º grado para encontrar el resto:
(2x3 -9x2 + 12x – 5)/(x-1) = 2x2-7x+5
2x2-7x+5=0 → x = (7 ± (49-40)1/2)/4 = (7 ± 3)/4 → x=1 y x=10/4 = 5/2
Hay dos tramos: Entre x=0 y x=5/2, la función queda por debajo del eje y por lo tanto el área será la integral definida cambiada de signo: A1=-∫05/2f(x).dx = – (F(5/2) – F(0))
Entre 5/2 y 3, la función queda por encima del eje x y por lo tanto, el área coincide con la integral.
A2=∫5/23f(x).dx = F(3) – F(5/2)
A = A1 + A2
F(x)=∫(2x3 -9x2 + 12x – 5)dx=2x4/4 -9x3/3+12x2/2 -5x = x4/2-3x3+6x2-5x
A = -(-75/32 – 0) + (51/2 -(-75/32)) = 75/32 + 51/2 + 75/32 = 75/16 + 51/2 = 483/16u2
