Límites. Indeterminaciones
Calcula los siguientes límites:
- limx→3 (x2 – 6x + 9)/(x2-9)
- limx→0 (x3 + 2x2 + 4x) / (x2 + x)
- limx→0 x / (1 – (x+1)1/2)
- lim x→2 ( x2 –x – 2 ) / ( x2 – 4x + 4 )
- lim x → -∞ ( 2x2 – 2x + 1 ) / ( x2 -1 )
- limx→ ∞ (3x2 – 1)1/2 / 3x
- limx→∞ (3-5x)2 / (-9x2 – x)
- limx→1 ((2x-1)1/2 – x1/2) / (x-1)
Solución
limx→3 (x2 – 6x + 9)/(x2-9)=(9-18+9)/(9-9)=0/0 → Indeterminación
Este tipo de indeterminación se resuelve:
- Factorizamos numerador y denominador
- Simplificamos
- Volvemos a calcular el límite
x2 – 6x + 9=(x-3)2
x2-9=(x-3)(x+3)
limx→3 (x2 – 6x + 9)/(x2-9)=limx→3 (x-3)2/(x-3)(x+3)=limx→3 (x-3)/(x+3)=(3-3)/(3+3)=0/6=0
limx→0 (x3 + 2x2 + 4x) / (x2 + x)=0/0 → Indeterminación
x3 + 2x2 + 4x=x(x2+2x+4)
x2+x=x(x+1)
limx→0 (x3 + 2x2 + 4x) / (x2 + x)=limx→0 (x(x2+2x+4))/(x(x+1))=limx→0 (x2+2x+4)/(x+1)=4/1=4
limx→0 x / (1 – (x+1)1/2)=0/0 → Indeterminación
Para resolver este tipo de indeterminación en funciones irracionales debemos:
- multiplicar y dividir por el conjugado
- operar y simplificar
- volver a calcular el límite
limx→0 x / (1 – (x+1)1/2)=limx→0 x(1+(x+1)1/2) / ((1 – (x+1)1/2).(1+(x+1)1/2) =limx→0 x(1+(x+1)1/2) / (1-(x+1))=limx→0 x(1+(x+1)1/2) / (-x) =limx→0 -(1+(x+1)1/2)=-(1+(0+1)1/2)=2
lim x→2 ( x2 –x – 2 ) / ( x2 – 4x + 4 )=0/0 → Indeterminación
Resolvemos como en el primer caso:
x2 –x – 2=(x-2)(x+1)
x2 – 4x + 4=(x-2)2
lim x→2 ( x2 –x – 2 ) / ( x2 – 4x + 4 )=lim x→2 (x-2)(x+1)/(x-2)2=lim x→2 (x+1)/(x-2)=3/0 → Indeterminación
La primera indeterminación nos ha llevado a una 2ª indeterminación del tipo k/0.
Este tipo de indeterminaciones se resuelve:
- Calculamos los límites laterales
- Si los límites coinciden hay límite y valdrá +∞ o -∞
- Si los límites laterales no coinciden no hay límite
lim x→2- (x+1)/(x-2)=3/0-=-∞
lim x→2+ (x+1)/(x-2)=3/0+=+∞
lim x→2- (x+1)/(x-2)≠lim x→2+ (x+1)/(x-2) → No hay límite
lim x → -∞ ( 2x2 – 2x + 1 ) / ( x2 -1 )=∞/∞ → Indeterminación
Para resolver este tipo de indeterminación podemos hacer dos cosas
- Dividir numerador y denominador por la x de mayor orden del denominador, simplificar y calcular el límite
- Aplicar la siguiente regla
Sea n el orden del numerador y m el orden del denominador:
-
- si n>m → el límite será +∞ o -∞
- si n
- si n=m → el límite será an/am siendo an el coeficiente de la x de mayor orden del numerador y am el coeficiente de la x de mayor orden del denominador.
Aplicando esta segunda regla:
lim x → -∞ ( 2x2 – 2x + 1 ) / ( x2 -1 )=2/1=2
limx→ ∞ (3x2 – 1)1/2 / 3x = ∞/∞ → Indeterminación
A pesar de ser una función irracional, la forma de resolverlo es idéntica a la del apartado anterior. Resolvemos según la 1ª forma:
limx→ ∞ (3x2 – 1)1/2 / 3x =limx→ ∞ ((3x2 – 1)/x2)1/2 / (3x/x)= limx→ ∞ ((3x2/x2 – 1/x2)1/2 / (3x/x)= limx→ ∞ ((3 – 1/x2)1/2 / 3 = √3/3
limx→∞ (3-5x)2 / (-9x2 – x)=∞/∞ → Indeterminación
Se resuelve como las dos anteriores. Aplicamos la regla:
limx→∞ (3-5x)2 / (-9x2 – x)=limx→∞ (9+25x2-30) / (-9x2 – x)=25/-9=-25/9
limx→1 ((2x-1)1/2 – x1/2) / (x-1)=0/0 → Indeterminación
Resolvemos como la nº 6, multiplicando y dividiendo por el conjugado:
limx→1 (2x-1)1/2 – x1/2) / (x-1) = limx→1 (2x-1)1/2 – x1/2)(2x-1)1/2 + x1/2) /(x-1)((2x-1)1/2 + x1/2) = limx→1 ((2x-1) – x)) /(x-1)((2x-1)1/2 + x1/2) =
limx→1 (x-1) /(x-1)((2x-1)1/2 + x1/2) = limx→1 1/((2x-1)1/2 + x1/2)=1/2
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