Examen 1Ev2009-Discutir y resolver sistemas
Discutir y resolver, en los casos que sea posible, según los valores de m el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y + z = m+1
mx + y + (m-1)z = m
x + my + z = 1
Solución:
a) Discutir el sistema: para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché.
Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada:
Si ran(A)=ran(A*)= 3 → S.C.D.
Si ran(A)=ran(A*)<3 → S.C.I.
Si ran(A)≠ran(A*) → S.I.
Para estudiar el rango de A, lo primero que haremos será calcular su determinante.
|A|=m-1 → |A|=0, m=1
√ m € R m≠1 → S.C.D.
Estudiamos qué pasa cuando m=1
En este caso ran(A)<3 puesto que |A|=0. Veamos si el rango puede ser 2. Busco un menor:
|1 1|
|1 0|=-1≠0 → ran(A)=2
| |1 | 1 | 1 | 2| | |
| A* = | |1 | 1 | 0 | 1| |
| |1 | 1 | 1 | 1| |
Buscamos un menor de orden 3 distinto de 0, por ejemplo con la 2ª, 3ª y 4ª columna:
| |1 | 1 | 2| |
| |1 | 0 | 1| = 1 ≠ 0 |
| |1 | 1 | 1| |
Puesto que hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de 0, ran(A*)=3
Si m=1 ran(A)=2≠ran(A*)=3 → S.I.
b) Será resoluble para cualquier valor de m≠1, en cuyo caso será un S.C.D. que vamos a resolver por Cramer:
| |1+m | 1 | 1| | |
| |Ax| = | |m | 1 | m-1| = -m3+m2+2m-1 |
| |1 | m | 1| |
| |1 | m+1 | 1| | |
| |Ay| = | |m | m | m-1| = -m |
| |1 | 1 | 1| |
| |1 | 1 | m+1| | |
| |Az| = | |m | 1 | m| = m3-m |
| |1 | m | 1| |
Solución: √ m€R, m≠1: x=|Ax|/|A|=(-m3+m2+2m-1)/(m-1); y=|Ay|/|A|=-m/(m-1); z=|Az|/|A|=(m3-m)/(m-1)=m(m+1)