Dominio y recorrido. Función inversa
Dada las siguiente función:
f(x) = (3x2) / (x2-1)
a) Calcula su función inversa
b) Estudia su dominio y su recorrido
Solución
La _función inversa_ de f(x) es una función g(x) que verifica que f(g(x)) = g(f(x)) = x
Para encontrar la función inversa lo que hacemos es sustituir y por x y x por y. Después despejamos y.
y=(3x2) / (x2-1) → x = (3y2) / (y2-1)
Quitamos el denominador → x(y2-1)=3y2
Desarrollamos el paréntesis → xy2 – x = 3y2
Ponemos del mismo lado todo lo que tiene y → xy2 – 3y2 = x
Sacamos factor común de y2 → y2(x-3)=x
Despejamos y2 → y2 = x / (x-3)
Despejamos y → y = (x/(x-3))1/2
b) Se trata de una función racional, de modo que la función sólo puede tener problemas de dominio en los puntos que hacen “0″ el denominador de la función.
x2-1=0 → x2=1 → x=√1 → x=1 y x=-1
Para estudiar el recorrido de la función necesitamos conocer la función inversa:
Si f(x) y g(x) son funciones inversas se verifica que: Domf(x)=Recg(x) y Recf(x)=Domg(x)
Estudiando el Recg(x) tendremos el Domf(x)
g(x)=(x/(x-3))1/2
Puesto que se trata de una función irracional Domg(x) = {x∈R / x/(x-3) ≥ 0}
Debemos resolver una inecuación no lineal por lo que habrá que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor.
x=0 → raíz x=0
x-3=0 → raíz x=3
| (-∞,0) | (0,3) | (3,+∞) | |
| x | - | + | + |
| x-3 | - | - | + |
| x/(x-3) | + | - | + |
Puesto que buscamos x/(x-3) ≥ 0 nos quedaremos con los intervalos “+” y con los que hacen “0″ el cociente, es decir, con los ceros del numerador