Dominio y recorrido de una función
Obtén la función inversa de f(x) = x / (2x-3). Demuestra que lo es. Calcula el dominio y el recorrido de f(x).
Solución
a) Para calcular la inversa lo que tenemos que hacer es cambiar x por y e y por x y luego despejar la y.
y = x / (2x-3) → función inversa x = y / (2y-3) → quitamos el denominador → x(2y-3) = y → Quitamos el paréntesis → 2yx – 3x = y → Ponemos de un lado todo lo que tiene y y del otro lo que no la tiene →
2yx – y = 3x → Sacamos factor común de y → y(2x-1) = 3x → Despejamos y → y = 3x / (2x-1)
b) Para demostrar que g(x) es la función inversa de f(x) debemos recurrir a la definición:
f(x) y g(x) son funciones inversas si: f(g(x)) = g(f(x)) = x
c) Puesto que f(x) es una función racional, no pertenecerán al dominio de f(x) los puntos que hecen 0 el denominador de la función:
Si f(x) y g(x) son funciones inversas → Dom f(x) = Rec g(x) y Rec f(x) = Dom g(x)
Calcularemos el Dom g(x) para conocer el Rec f(x)
g(x) es una función racional → Dom g(x) = { x ∈R excepto 2x-1=0 } = { x ∈R excepto x=1/2 } = { x ∈(-∞,1/2)U(1/2,∞) }