Dominio de funciones racionales e irracionales

Calcula el dominio de las siguientes funciones:
f(x) = (x2-9)1/2 / (4-x2)
g(x) = (x-3) / (x2+5×-6)1/2

Solución

  • En las funciones racionales tenemos que excluir del dominio los valores de x que hacen cero el denominador de la función
  • En las funciones irracionales sólo pertenecen al dominio de la función las valores de x que hacen el radicando ≥ 0

En f(x) tenemos que aplicar las 2 cosas:
Dom f(x) = {x ∈R / x2 – 9 ≥ 0 excepto 4-x2 = 0}
4-x2=0 → 4=x2 → x=√4 → x=2 y x=-2
x2 -9 ≥ 0 es una inecuación no lineal. Para resolverla tenemos que factorizar y estudiar el signo de cada factor.
x2 -9=0 → x2=9 → x=√9 → x=3 y x=-3 ← Estos puntos no pertenecerán al dominio
La factorización queda: x2 -9=1.(x-3)(x+3)

(-∞,-3) (-3,3) (3,+∞)
x-3 - - +
x+3 - + +
1.(x-3)(x+3) + - +

Como tiene que ser ≥ =, cogemos los intervalos “+” y los puntos 3 y -3 que hacen “0” el radicando.
Esos intervalos ya excluyen los puntos que hacen 0 el denominador que son x=2 y x=-2.

Solución: Dom f(x) = {x ∈ (-∞,-3] U [3,+∞)}

b) g(x) tiene una raiz en el denominador → Dom g(x) = {x ∈R / x2 + 5x – 6 > 0}
Tenemos que resolver la inecuación no lineal. Hay que factorizar y estudiar el signo de cada factor:
x2 + 5x – 6 = 0 → x = (- 5 ± √(25+24))/2 → x = (- 5 ± √49)/2 → x= (-5±7)/2; x=1, x=-6
La factorización queda: x2 + 5x – 6 = 1.(x+6)(x-1)

(-∞,-6) (-6,1) (1,+∞)
(x+6) - + +
(x-1) - - +
1.(x+6)(x-1) + - +

Como es >0 tenemos que coger los +. No podemos coger -6 y 1 porque hacen 0 el denominador

Solución: Dom g(x) = { x ∈ (-∞,-6) U (1,+∞)}

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