Dominio, continuidad y asíntotas-S2003B2

Sea la función:
f(x) = x / (1-x²)
Se pide:
a) Especificar su dominio de definición
b) Estudiar su continuidad
c) Calcular las asíntotas si las hubiera

Solución

a) Por tratarse de una fracción de polinomios, el dominio estará formado por todos los puntos que pertenecen a R salvo aquéllos que hacen “0″ el denominador:
2x² + 2x -12 = 0
x = (-2 ± (4 + 96)^1/2)/4 = (-2 ±10)/4
x₁ = (-2 + 10)/4 = 2
x₂ = (-2-10)/4 = -3

b) Por tratarse de un cociente de polinomios, la función será continua en todo su dominio de definición.
Por abuso de lenguaje, podemos estudiar la discontinuidad en los puntos que no pertenecen al dominio.
x=2
lim_{(x → 2^-)} f(x) = -∞
lim_{(x → 2⁺)}f(x) = +∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=2
x=-3
lim_{(x → -3^-)} f(x) = +∞
lim_{(x → -3⁺)}f(x) = -∞
Por abuso de lenguaje, f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=-3

Solución: la función es continua en todo su dominio y por abuso de lenguaje podemos decir que presenta discontinuidades inevitables en x=2 y x=-3

c)
Asíntotas verticales:
x=2 y x=-3 ( son los puntos que hacen “0″ el denominador )

Asíntotas horizontales:
Serán los puntos a los que se acerca la función cuando x → ±∞
lim_{(x → ±∞)} f(x) = ±∞
No hay asíntotas horizontales –> puede haber asíntotas oblicuas

Asíntotas oblicuas:
Una asíntota oblicua es una recta del tipo y = mx + b donde:
m = lim_{(x → ±∞)} f(x)/x = lim_{(x → ±∞)} (-x³ +1)/(2x³+2x²-12x) = -1/2
b = lim_{(x → ±∞)} (f(x) – m·x) = lim_{(x → ±∞)} (-x³+1 -(-1/2)(2x² + 2x -12))/(2x² + 2x -12 ) = lim_{(x → ±∞)} (x²-5)/(2x² + 2x -12 ) = 1/2
Solución: y = -1/2x + 1/2

Tags: asíntotas, continuidad, dominio

This entry was posted on Friday, November 20th, 2009 at 8:35 pm and is filed under Análisis, Continuidad. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.