Discusión de sistema de ecuaciones. Resolución por método de Cramer y parametrización

Discute y resuelve, cuando sea posible, el siguiente sistema:
2x – 3y + kz = 3
x – 2y + 3z = k-1
(k-2)x -y + 4z = -1

Solución:

a) Discusión del sistema.
Discutiremos el sistema utilizando el método de Rouché, que dice lo siguiente:
Sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada, es decir, la matriz de coeficientes a la que se le ha añadido la columna de término independiente:

si rango(A)=rango(A*) → El sistema es compatible

Si además rango(A)=rango(A*)= nº de incógnitas → sistema compatible determinado

Si rango(A)=rango(A*) < nº incógnitas → sistema compatible indeterminado

Si rango(A)≠rango(A*) → sistema incompatible

	|	2	-3	k	|
A=	|	1	-2	3	|
	|	k-2	-1	4	|

|A|=2k²-14k+20=2(k-5)(k-2)

|A|=0 → k=5, k=2

√ k  R € R, k≠5, k≠2 →rango(A)=rango(A*)=3→ S.C.D.

Hemos de estudiar los casos particulares de k=5 y k=2 para ver cómo es el sistema

k=2

	|	2	-3	2	|
A=	|	1	-2	3	|
	|	0	-1	4	|

Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de 0:

|2 -3|
|1 -2| = -4 -3 = -7 ≠ 0 → rango(A)=2

Buscamos si el rango de A* es 3, trabajando con menores de orden 3:

	|	2	-3	2	3	|
A*=	|	1	-2	3	1	|
	|	0	-1	4	-1	|

Cogemos 2ª, 3ª y 4ª columna:

|	-3	2	3	|
|	-2	3	1	|	=9-2-24+9+12-4=0
|	-1	4	-1	|

Probamos con los menores que se obtienen con las columnas 1, 2 y 4 y con las columnas 1,3 y 4 y vemos que todos los menores son 0 → rango(A*)=2

si k=2 rango(A)=rango(A*)=2→ S.C.I.

si k=5

	|	2	-3	5	|
A=	|	1	-2	3	|
	|	3	-1	4	|

Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de 0:

|2 -3|
|1 -2| = -4 -3 = -7 ≠ 0 → rango(A)=2

Buscamos si el rango de A* es 3, trabajando con menores de orden 3:

	|	2	-3	5	3	|
A*=	|	1	-2	3	4	|
	|	3	-1	4	-1	|

Cogemos 2ª, 3ª y 4ª columna:

|	-3	5	3	|
|	-2	3	4	|	=9-20-24+9+48-10≠0
|	-1	4	-1	|

→ rango(A*)=3≠rango(A)=2 → si k=5  S.I.

b) El sistema tendrá solución siempre que sea compatible.

Para k=2 hemos de resolver por parametrización pues se trata de un S.C.I.

Resolvemos por Gauss:

2x – 3y + 2z = 3
x – 2y + 3z = 1
-y + 4z = -1

2x – 3y + 2z = 3
y – 4z = 1
-y + 4z = -1

Si z=λ → y= 1 + 4λ, x=3+5λ

Solución: si k=2, √ λ€R: x=3+5λ, y=1 + 4λ, z=λ → ∞ soluciones

k≠2 y k≠5 → S.C.D.

Solución única para cada sistema. Resolvemos por Cramer.

x=lAxl/lAl;

y=lAyl/lAl;

z=lAzl/lAl

	|	3	-3	k	|
lAxl=	|	k-1	-2	3	|=-k2+11k-18
	|	-1	-1	4	|

	|	2	3	k	|
lAyl=	|	1	k-1	3	|=-k3+3k2+14k-32
	|	k-2	-1	4	|

	|	2	-3	3	|
lAzl=	|	1	-2	k-1	|=-3k2+17k-22
	|	k-2	-1	-1	|

Solución: √ k≠2 y k≠5 cada sistema tendrá una única solución: x=(-k²+11k-18)/(2k²-14k+20)
y=(-k³+3k²+14k-32)/(2k²-14k+20)
z=(-3k²+17k-22)/(2k²-14k+20)

Tags: Cramer, discutir, Rouché, sistema de ecuaciones

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