Continuidad
Estudia la continuidad de la siguiente función:
| |x2 + 1 | si x ≤ 0 | |
| f(x) = | | 2x – 1 | si 0 < x < 3 |
| | 5 | si x ≥ 3 |
Solución
Para estudiar la continuidad de una función a trozos tenemos que estudiar qué ocurre en los puntos que delimitan cada tramo, en este caso x=0 y x=3
Para que una función f(x) sea continua en un punto x=a deben cumplirse las siguientes condiciones:
- ∃f(a)
- limx→a- f(x) = limx→a+ f(x) = limx→a f(x)
- limx→a f(x) = f(a)
Si no se cumple la 2ª condición, tendremos una discontinuidad inevitable
Si no se cumple la 3ª condición, tendremos una discontinuidad evitable
Estudiamos x=0
- f(0)=02+1=1
- limx→0- f(x) =limx→0- x2+1=02+1=1; limx→0+ f(x)=limx→0+ 2x-1 = 2.0-1=-1; limx→0- f(x) ≠ limx→0+ f(x) → discontinuidad inevitable
Estudiamos x=3
- f(3)=5
- limx→3- f(x) =limx→3- 2x-1=2.3-1=6-1=5; limx→3+ f(x)=limx→3+ 5 = 5; limx→3- f(x) = limx→3+ f(x) =5
- f(3)=limx→3 f(x)=5 → f(x) es continua en x=5
Solución: La función es continua en todo su dominio salvo en x=0 donde presenta una discontinuidad inevitable
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