Continuidad, recta tangente y asíntotas-J2000A2

Se considera la función:

	(x+2)/(x-1)  si x ≤ 2
f(x) =
	(3x2-2x)/(x+2) si x>2

a) Estúdiese si f(x) es continua en x=2
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto x=3
c) Calcúlense las asíntotas oblicuas

Solución

a) Para que la función sea continua en un el punto x=2 debe ocurrir que:

lim_{(x → 2^-)}f(x) = lim_{(x → 2^-)}(x+2)/(x-1) = 4/1 = 4
lim_{(x → 2⁺)}f(x) = lim_{(x → 2⁺)}(3x²-2x)/(x+2) = 8/4 = 2
f(2) = 4
Puesto que no coinciden los límites laterales, la función es discontinua en x=2, donde presenta una discontinuidad inevitable

b) La recta tangente en x=3 tendrá por ecuación y=mx+b
m=f´(x=3)
Para calcular f´(x=3) debemos utilizar el trozo de la función en que x>2´
f´(x) = ((6x-2)(x+2)-(3x²-2x).1)/(x+2)²=(3x²+12x-4)/(x+2)²
f´(x=3) = 62/25
Para calcular “b”, sé que la recta debe pasar por el punto x=3, f(x=3)
f(x=3) = (27-6)/5 = 19/5
19/5 = 62/25·3 +b → b = 19/5 – 186/25 = (95-186)/25 = -91/25
La recta tangente en x=3 es y = 62/25·x – 91/25

c) En la rama x2
Asíntota oblicua: y = mx + b
m = lim_{(x → +∞)}f(x)/x = lim_{(x → +∞)} (3x²-2x)/x(x+2) = 3
b = lim_{(x → +∞)} f(x) -m·x = (3x²-2x)/(x+2) – 3x = -8
Asíntota oblicua: y = 3x – 8

Tags: asíntotas, continuidad, recta tangente

This entry was posted on Friday, November 20th, 2009 at 8:40 pm and is filed under Análisis, Continuidad, Matemáticas C.C.S.S. 2. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.