Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:

a)
| -4x + 5 si x≤1
| -2x² + 3 si x>1

Solución:

Continuidad:
Lo primero que hacemos es estudiar el dominio de definición de la función. Se trata de una función a trozos. Ambos trozos son polinomios y por lo tanto, su dominio es todo el tramo en el que están definidos.
El único punto conflictivo de cara a la continuidad es el punto de corte entre los tramos: x=1
Para que la función sea continua en x=1 se debe cumplir que:
1. lim_x→1- f(x) = lim_x→1+ f(x)
2. f(1) existe
3. lim_x→1 f(x) = f(1)

1. lim_x→1- f(x) = lim_x→1- -4x + 5 = -4 + 5 = 1
lim_x→1+ f(x) = lim_x→1+ -2x² + 3 = -2 + 3 = 1
Se verifica el primer punto
2. f(1) = -4(1) + 5 = 1
Se verifica el segundo punto
3. lim_x→1 f(x) = 1
f(1) = 1
Se verifica el tercer punto
→ La función es continua en x=1 → La función es continua en todo su dominio de definición
Derivabilidad:
El único punto conflictivo a la hora de estudiar la derivabilidad es x=1. Puesto que la función es continua en x=1, debemos estudiar si es derivable ( si no fuera continua, no haría falta estudiar derivabilidad, puesto que donde una función no es continua, tampoco es derivable )
Para que f(x) sea derivable en x=1 se debe cumplir que:
f’(x=1-) = f’(x=1+)
Calculamos la derivada de la función f’(x):
| -4 si x<1
| -4x si x>1
f’(x=1-)=-4
f’(x=1+)=-4.(1)=-4
f’(x=1-)=f’(x=1+)=-4
→ La función es derivable en x=1 con derivada f’(1) = -4 → La función es derivable en todo su dominio de definición

b)
| ax² + bx – 1 si x≤1
| 2bx – 2 si 1

Solución:

Se trata de una función a trozos. Los dos trozos son polinomios, de modo que son continuos y derivables en todo su dominio de definición, luego el único punto conflictivo es el de corte de los tramos: x=1
Para que la función sea continua en x=1 debe cumplir que:
1.- lim_x→1- f(x) = lim_x→1+ f(x)
lim_x→1- f(x) = lim_x→1- ax² + bx – 1 = a + b -1
lim_x→1+ f(x) = lim_x→1+ = 2bx – 2 = 2b – 2
Para que la función sea continua a + b -1 = 2b – 2
Tenemos una ecuación y dos incógnitas, de modo que necesitamos una 2ª ecuación.
Esa ecuación la vamos a obtener de la derivabilidad:
Para que la función sea derivable en x=1 debe cumplir que:
f’(x=1-) = f’(x=1+)
Calculamos f’(x):
| 2ax + b si x<1
| 2b si 1
f’(x=1-) = 2a.1 + b
f’(x=1+) = 2b
f’(x=1-) = f’(x=1+) → 2a + b = 2b
Tenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas. Resolvemos el sistema:
a + b -1 = 2b – 2
2a + b = 2b

a = b – 1
2a = b

a = 2a – 1 → a = 1 ; b = 2
Solución: si a = 1 ; b = 2 la función será continua y derivable en todo su dominio de definición.
b)