Teorema del resto y factorización
Enuncia el teorema del resto.
Calcula los valores de m y n para que el siguiente polinomio tenga como raíces 0 y –1:
P(x) = mx4 + 6x3 + 11x2 + 6x + n
Una vez hallados, factoriza el polinomio e indica el orden de cada raiz.
Solución
Como consecuencia de este teorema: si x=a es una raiz de P(x) P(a)=0
Tenemos 2 incógnitas: m y n
Para encontrar su valor, necesitaremos 2 ecuaciones.
Si 0 y -1 tienen que ser raíces:
P(0)=0
P(-1)=0
P(0) = m(0)4+6(0)3+11(0)2+6(0) + n = 0
P(-1) = m(-1)4+6(-1)3+11(-1)2+6(-1) + n = 0
P(0)=n=0 → n=0
P(-1)=m-6+11-6+n=0 → m-1+n=0 → m-1+0=0 → m=1
b) Ahora tenemos que factorizar P(x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x
Primero sacamos factor común de x : P(x) = x(x3 + 6x2 + 11x + 6) → La primera raiz es x = 0 ( Ya lo dice el enunciado del ejercicio )
Además, por el enunciado del ejercicio sabemos que x=-1 es una raíz. Si aplicamos Ruffini:
| 1 | 6 | 11 | 6 | |
| -1 | -1 | -5 | -6 | |
| 1 | 5 | 6 | 0 |
Ahora resolvemos la ecuación de 2º grado: x2 + 5x + 6 = 0
x = ( -5 ± √(52 -4.6.1) ) / 2 = ( -5 ± √(25 – 24) ) / 2 → x = (-5 ± 1) / 2 → x = (-5+1)/2 y x = (-5 – 1)/2 → x=-2 y x=-3 serán las otras 2 raíces
Puesto que cada raíz sólo aparece una vez el orden de cada raíz es 1
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