Sistemas de ecuaciones

a) Se trata de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que resolveremos por el método de Gauss. El método de Gauss pretender encontrar un sistema equivalente triangulado, es decir, con una ecuación con 3 incógnitas, otra con 2 y otra con 1, que iremos resolviendo de abajo a arriba.
Lo haremos en 2 pasos:
1º paso: fijamos la 1ª ecuación y trabajamos con (1) y (2) y con (1) y (3) para quitar una incógnita.
Quitamos la z:
2(1)+(2) → 5x – 4y = 1
3(1)-(3) → 3x – 8y = -5
El sistema queda:
2x-3y+z=0
5x – 4y = 1
3x – 8y = -5
2º paso: fijamos la 1ª y la 2ª ecuación y trabajamos con (2) y con (3) para quitar una incógnita. Quitamos la x, por ejemplo:
3(2) – 5(3) → 28y = 28
El sistema queda triangulado:
2x-3y+z=0
5x – 4y = 1
28y = 28
Resolvemos de abajo a arriba
28y=28 → y = 28/28 → y=1
5x-4y=1 → 5x – 4.1 = 1 → 5x – 4 = 1 → 5x = 1+ 4 → 5x = 5 → x = 5/5 → x=1
2x-3y+z=0 → 2.1 – 3.1 + z = 0 → 2 – 3 + z = 0 → -1 + z = 0 → z=1

b) Se trata de un sistema de 2 ecuaciones no lineales con 2 incógnitas. Este tipo de sistemas hay que resolverlos por sustitución. Despejaremos una incógnita de la ecuación más sencilla:
x²-2y²=1
xy-x=3 → Sacamos factor común de x para poder despejar: x(y-1)=3 → Despejamos x → x = 3/(y-1)
Sustituimos x en la 1ª ecuación: (3/(y-1))² – 2y² = 1 → Elevamos al cuadrado el paréntesis
3²/(y-1)² – 2y² = 1 → 9/(y² + 1 -2y) – 2y² = 1 → ponemos común denominador
9 – 2y²(y² + 1 – 2y) = 1(y² + 1 – 2y) → Quitamos los paréntesis
9 – 2y⁴ – 2y² + 4y³ = y² + 1 – 2y → Pasamos todo al lado derecho y agrupamos términos semejantes → 2y⁴ -4y³+3y² – 2y – 8 = 0 → Tenemos una ecuación polinómica de grado 4 que debemos resolver por Ruffini: ” Si un polinomio tiene raíces enteras estas serán divisores del término independiente”
Las posibles raíces enteras serán ±1, ±2, ±4, ±8

	2	-4	3	-2	-8
2		4	0	6	8
	2	0	3	4	0

La primera solución será y=2
Nos queda un polinomio de 3º grado cuyo término independiente es 4. Volvemos a aplicar Ruffini.
Las posibles raíces enteras serán ±1, ±2, ±4
Comprobamos que ninguna es raíz, de modo que sólo tenemos una solución: y=2
Despejamos x:
si y=2 → x=3/(y-1) = 3/(2-1) = 3/1 = 3
La única solución entera que hay será: x=3, y=1