Problema
¿Qué edad tienen un padre y un hijo si se sabe que hace 5 años la edad del padre era triple que la del hijo y que hace 10 años la diferencia del cuadrado de la edad del padre y el cuadrado de la edad del hijo era 40 veces la edad del hijo hoy?
Dato: √625 = 25
Solución
Para resolver las dos incógnitas necesitaremos 2 ecuaciones.
Hace 5 años el hijo tenía x-5 y el padre y-5 y “la edad del padre era triple que la del hijo”→
3(x-5)=(y-5) ← 1ª Ecuación
Hace 10 años el hijo tenía x-10 y el padre y-10 y “la diferencia del cuadrado de la edad del padre y el cuadrado de la edad del hijo era 40 veces la edad del hijo hoy ( es decir, x )” →
(y-10)2 – (x-10)2 =40.x ← 2ª ecuación
Tenemos que resolver un sistema de 2 ecuaciones no lineales con dos incógnitas.
Este tipo de sistemas se resuelven por sustitución.
3x – 15 = y – 5 → 3x – y = -5 + 15 → 3x – y = 10
(y-10)2 – (x-10)2 =40.x → y2 + 100 – 20y – (x2 + 100 – 20x) = 40x → y2 + 100 – 20y – x2 – 100 + 20x – 40x = 0 → y2-20y-x2-20x = 0
Despejamos la y en la 2ª ecuación y sustituimos en la 1ª
y2-20y-x2-20x = 0
3x – y = 10 → y=3x-10
(3x-10)2 – 20(3x-10) – x2 – 20x = 0
9x2 + 100 – 60x -60x + 200 -x2 – 20x = 0
8x2 -140x + 300 = 0 ← Simplificamos
2x2 – 35x + 75 = 0 ← Resolvemos la ecuación de 2º grado
x=(35±√(1225-600))/4 → x=(35±√(625))/4 → x=(35±25)/4 → x=15 y x=5/2
Para cada valor de x, encontramos el valor de y:
si x=15 → y=3x-10=3.15-10=45-10=35
si x=5/2 → y=3x-10=3.5/2-10=15/2-10=-5/2 ¡Imposible! → No es solución
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