Inecuaciones
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2 + x > 5(x+1)
b) x + (x-1)/5 < 2x – (3-x)/2
c) x2 + 2x – 15 < 0
d) (4 – x2) / (x+1) ≤ 0
Solución
Quitamos los paréntesis: 2 + x > 5x + 5
Dejamos las x de un lado y lo que no tiene x del otro: 2 – 5 > 5x – x
Agrupamos términos semejantes: -3 > 4x → -3/4 > x
¡OJO! Si el número por el que dividimos hubiera sido negativo, habría tenido que cambiar el signo de la desigualdad.
b) x + (x-1)/5 < 2x – (3-x)/2 es una inecuación lineal
Ponemos denominador común: M.C.M: 10
10x + 2(x-1) < 20x – 5(3-x) ← quitamos los paréntesis
10x + 2x – 2 < 20x – 15 + 5x ← agrupamos términos semejantes
12x – 2 < 25x -15 ← pasamos todo lo que tiene x a un lado y lo que no al otro
12x – 25x < -15 + 2 → -13x < -13 ← dividimos todo por -13 ( ojo! es negativo )
x > -13/(-13) → x > 1
c) x2 + 2x – 15 < 0 es una inecuación no lineal: hay que factorizar y estudiar el signo de cada factor.
x2 + 2x - 15 = 0 → x=(-2 ± √(4+60) )/2 → x=(-2 ± 8)/2 → x=(-2+8)/2 y x=x=(-2-8)/2 → x=3 y x=-5
La factorización quedaría: x2 + 2x – 15 = 1.(x-3)(x+5)
Estudiamos el signo de cada factor
| (-∞,-5) | (-5,3) | (3,+∞) | ||
| x-3 | - | - | + | |
| x+5 | - | + | + | |
| 1.(x-3).(x+5) | + | - | + | |
Como es <0, tengo que coger los tramos que son -
d) (4 – x2) / (x+1) ≤ 0 es una inecuación no lineal: hay que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor.
Factorización del numerador:
4-x2=0 → 4=x2 → x=√4 → x=2 y x=-2
La factorización queda (OJO! el coeficiente que acompaña a la x de mayor orden es negativo y hay que tenerlo en cuenta en el estudio del signo) 4-x2=-1(x-2)(x+2)
Factorización del denominador:
ya está factorizado x+1=0 → raiz x=-1
Estudiamos el signo de cada factor:
| (-∞,-2) | (-2,-1) | (-1,2) | (2,+∞) | |
| x-2 | - | - | - | + |
| x+2 | - | + | + | + |
| x+1 | - | - | + | + |
| (-1).(x-2).(x+2)/(x+1) | + | - | + | - |
Como es ≤ 0 tenemos que coger los - y los que hacen 0 la fracción, es decir, los ceros del numerador ( nunca los del denominador )
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