Ecuaciones e Inecuaciones

a) (x² – 1) / ( x + 3) ≤ 0
Es una inecuación no lineal, de modo que hay que factorizar numerador y denominador y estudiar el signo de cada factor:
x²-1=0 → x²=1 → x = √1 → x=1 y x=-1
La factorización quedaría: x²-1=1.(x-1)(x+1)
El denominador ya está factorizado: x+3 → raíz x=-3
Estudiamos el signo de cada factor.

	(-∞,-3)	(-3,-1)	(-1,1)	(1,+∞)
(x-1)	-	-	-	+
(x+1)	-	-	+	+
(x+3)	-	+	+	+
1.(x-1)(x+1)/(x+3)	-	+	-	+

Como es ≤ 0, tenemos que coger los intervalos “-” y los valores que hacen “0″ la fracción, es decir, los ceros del numerador ( nunca los del denominador )

b) ( 7 + 2x )^1/2 – ( 3 + x )^1/2 = 1
Se trata de una ecuación con raíces. El procedimiento es el siguiente:

• Aislamos una raíz y elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación. Si siguen quedando raíces, repetimos el procedimiento hasta que no quede ninguna raíz.
• Cuando elevamos al cuadrado podemos estar introduciendo soluciones que no lo sean de nuestra ecuación original, de modo que una vez obtenidas las posibles soluciones, es necesario comprobar.

( 7 + 2x )^1/2 = 1 + ( 3 + x )^1/2 → Elevamos al cuadrado los dos miembros
((7+2x)^1/2)²=(1 + (3 + x)^1/2)² → 7 + 2x = 1 + (3+x) + 2√(3+x)
Dejamos lo que tiene raíz en un miembro y lo que no en el otro miembro:
7 + 2x -1 -3 – x = 2√(3+x) → Agrupamos términos semejantes → 3+x=2√(3+x)
Elevamos los dos miembros al cuadrado → (3+x)²=(2√(3+x))²
9+x²+ 6x=4(3+x) → 9+x²+ 6x – 12 – 4x=0 ; x² + 2x – 3 = 0
Resolvemos la ecuación de 2º grado: x=(-2±√(4+12))/2=(-2±√16)/2=(-2±4)/2 → x=(-2+4)/2 y x=(-2-4)/2 → x=1 y x=-3
Comprobamos las posibles soluciones:
x=1
( 7 + 2x )^1/2 – ( 3 + x )^1/2 = 1 → ( 7 + 2.1 )^1/2 – ( 3 + 1 )^1/2 = 1
√9 – √4 = 1 → 3 – 2 = 1 → CORRECTO x=1 es solución
x=-3
(7+2x)^1/2 – (3 + x)^1/2 = 1 → ( 7 + 2.(-3) )^1/2 – ( 3 + (-3) )^1/2 = 1
√1 – √0 = 1 → 1 – 0 = 1 → CORRECTO x=-3 es solución