Ecuaciones-20091p1EvP2

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (2x-1)^1/2 + (x+4)^1/2 = 6
b) 2log(x) – log(x-16) = 2
c) 3^x-1 + 3^x + ^x+1 = 117
d) 4^x – 5.2^x + 4 = 0
e) (x+9)/x – (5+x)/(x+2) = (12x+12)/(x² + 2x)
f) 4x⁴ + 7x² – 2 = 0

Solución:

a) Es una ecuación irracional. Debemos elevar al cuadrado los 2 términos de la igualdad para intentar quitar las raíces.

(2x-1) + (x+4) + 2(2x-1)^1/2(x+4)^1/2=36 → 3x + 3 + 2(2x-1)^1/2(x+4)^1/2=36

Aislamos las raíces y volvemos a elevar al cuadrado:

2(2x-1)^1/2(x+4)^1/2=33-3x → 4(2x-1)(x+4) = 1089 + 9x² – 198x → 4(2x² + 8x – x – 4)=1089 + 9x² – 198x

Reagrupamos términos y resolvemos la ecuación de 2º grado:

x² – 226x + 1105 = 0 → x=(226±216)/2 → x=221 y x=5

Puesto que se trata de una ecuación irracional, debemos comprobar las soluciones:

si x=221 → (2.221-1)^1/2 + (221+4)^1/2 = 6; 21 + 15 = 36 ≠ 6 → No es solución

si x=5 → (2.5-1)^1/2 + (5+4)^1/2 = 6 → Es solución

b) Es una ecuación logarítmica. Aplicamos las propiedades de los logaritmos para dejar un solo logaritmo a la izquierda y un solo logaritmo a la derecha y de ese modo igualar los argumentos de los logaritmos:

log(x²/(x-16))=log(100) → x²/(x-16) = 100 Nos queda una ecuación irracional

x²= (x-16).100 → x²-100x + 1600 = 0 → x=(100±60)/2; x=80 y x=20

Por ser una ecuación logarítmica, y puesto que no existe el logaritmo de un número negativo,  comprobamos las soluciones:

2log(80) – log(80-16) = 2 → x=80 es solución

2log(20) – log(20-16) = 2 → x=20 es solución

c) Se trata de una ecuación exponencial: 3^x/3 + 3^x + 3.3^x = 117 → 3^x (1/3 + 1 + 3) = 117 → 3^x.13/3=117 → 3^x=117.3/13

→ 3^x=27 → 3^x=3³ → Solución: x=3

d) Se trata de una ecuación exponencial que hay que resolver por cambio de variable: 2^x=z → z² – 5z + 4 = 0

Resolvemos la ecuación de 2º grado:

z=(5±3)/2 → z=4 y z=1

Deshacemos el cambio de variable:

Si z=4 → 2^x=4 → x=2

Si z=1→ 2^x=1 → x=0

Soluciones: x=2 y x=0

e) Se trata de una ecuación racional. El primer paso será factorizar todos los denominadores para encontrar el denominador común. Realizaremos las operaciones y después quitaremos los denominadores.

(x+9)/x – (5+x)/(x+2) = (12x+12)/x(x + 2)

m.c.m.=x(x+2)

(x+2)(x+9) – x(5+x) = 12x + 12 → 6x+18=12x+12 → 6=6x → x=1

Comprobamos la solución puesto que se trata de una ecuación irracional:

10/1 – 6/3 = 24/3 → 8=8 → x=1 es solución

f) Se trata de una ecuación bicuadrada que resolveremos por cambio de variable.

NOTA: Puesto que es una ecuación de 4º grado, podríamos intentar resolver por Ruffini, pero esto solo nos proporcionaría soluciones enteras, mientras que el cambio de variable nos dará todas las soluciones y sin tener que tantear.

Cambio de variable: z=x²

4z² + 7z – 2 = 0; Resolvemos la ecuación de 2º grado: z=(-7±9)/8; z=1/4 y z=-2

Deshacemos el cambio de variable:

Si z=1/4 → x²=1/4 → x=√1/4 → x=1/2 y x=-1/2

Si z=-2 → x²=-2 → x=√-2 → No hay solución real

Solución: x=1/2 y x=-1/2

This entry was posted on Tuesday, October 27th, 2009 at 11:02 am and is filed under Ecuaciones. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.